第5章插值方法

《第5章插值方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、18第5章：插值法第5章插值方法5.1插值问题概述假设f(x)是某个表达式很复杂,甚至根本写不出来的实函数,且已知f(x)在某个区间[a,b]上的n+1个互异的点x0,x1,…,xn处的函数值f(x0),f(x1),…,f(xn)，我们希望找到一个简单的函数y=P(x),使得P(xk)=f(xk),k=0,1,…,n.这就是插值问题。如果我们找到了这样的函数y=P(x),我们就可以在一定范围内利用P(x)近似表示f(x),从而解决了相应的计算问题。1.利用函数值列表来表示插值问题对于一个插值问题来说，我们的已知条件就是n+1个互异的点处的函数值.

2、回顾高等数学中学习过的函数的表示方法，我们可用下面表1的形式列出已知的函数值，并简称为由表1给出的插值问题。表1：插值问题的函数值列表k01…n,……2.重要术语对于n+1个基点的插值问题，我们称：f(x)为被插值函数;18第5章：插值法P(x)为插值函数；x0,x1,…,xn为插值基点或插值节点;P(xk)=f(xk),k=0,1,…,n为插值条件；[a,b]为插值区间。注释：对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对数函数，指数函数，三角函数等这些问题现在已经不用插值法来计算了；对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道f(x)的具体

3、形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接读出来的，f(x)只是一个概念中的函数。3．多项式插值对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形式为Pn((x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn（1）所以只要确定了n+1个系数a0,a1,a2,an，我们便确定了一个插值多项式。4．多项式插值的一般方法对于n+1个基点的多项式插值问题，我们完

4、全可以用上一章中的办法来求插值多项式Pn(x)的系数，a0,a1,a2,an，它们可表为下面的线性方程组的解，所以多项式插值相对说来是很简单的。18第5章：插值法（2）定理1：n+1级范德蒙（Vandermonde）行列式不等于零的充要条件是诸x0,x1,…,xn两两互不相同。这是代数学中很著名的一个定理，我们推荐大家阅读北京大学数学力学系编《高等代数》（人民教育出版社1978年第一版）pp78-79，基本方法是数学归纳法。定理2：如果两个次数都不超过n的多项式P(x)和Q(x)在n+1个互不相同的点处的值相同，则这两个多项式恒等。这也是代数学中

5、很著名的定理，在北京大学数学力学系编《高等代数》（人民教育出版社1978年第一版）pp25-26中可找到定理的证明，基本思路是不恒为零的n次多项式不可能有多于n个的零点，而P(x)-Q(x)却有，所以它要么是高于n次的多项式，要么恒等于零。5.多项式插值的基本结论18第5章：插值法由于线性方程组（2）的系数矩阵的行列式就是范德蒙行列式，再加上我们对插值基点互异的假设，上面的定理1表明，也就是说，对于给定的插值条件，存在唯一的插值多项式，它的系数就是线性方程组（2）的唯一解。定理2进一步表明，不管什么形式的多项式，只要次数不超过n,而且满足相同的插

6、值条件，那么它们就是恒等的。6．重要提示：上面的两个定理已经表明，对于多项式插值问题来说，插值多项式由插值条件唯一决定，所以我们在口语中所讲的n+1个基点的插值问题求解指的就是求出由一组插值条件所唯一决定的多项式。但是我们允许这个多项式有不同的数学形式，以便于数值计算。在后面的两节中，我们将对相同的插值条件给出两种不同的插值多项式，即Lagrange和Newton插值多项式。所以他们应该是恒等的，名称不同只是各自的形式有所不同。7.与曲线拟合的差异从形式上看，n+1个基点的插值问题与曲线拟合问题基本相同：都是由n+1个条件决定出一个多项式，也考虑

7、寻找基函数的线性组合，但它们的原理，方法，以及应用领域都不相同，基本上是两个类别的问题。曲线拟合主要应用于误差分析以及多元回归，数学原理是投影理论，方法是最小二乘法；而插值则应用于精确计算，应该说只是一种经验的方法，理论基础非常脆弱，不过我们可以通过验算来证实结果的有效性。5.2拉格朗日插值公式1．拉格朗日插值公式的构造18第5章：插值法对于表1所确定的n+1个基点的插值问题，相应的拉格朗日插值公式，我们记为Ln(x)，实际就是把插值多项式Pn(x)表为基函数{lk(x)

8、k=0,1,…,n}的线性组合，其中（1）而且组合系数实际就是诸y0,y1

9、,…,yn，因此我们有（2）接下来我们要证明Ln(x)的确是插值多项式，也就是满足n+1个插值条件。1．证明Ln(x)的确是插值多项式注