计算方法-第2章-1、插值法(拉格朗日插值)

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1、计算方法第二章插值法6/17/20211第二章插值法2.1引言2.2拉格朗日插值2.3均差与牛顿插值公式2.4埃尔米特插值2.5分段低次插值6/17/20212本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值.本章主要介绍有关插值法的一些基本概念，及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、牛顿插值、埃尔米特插值。6/17/202132.1引言能否存在一个性能优良、便于计算的函数一、插值问题6/17/20214这就是插值问题，上式为插值条件其插值函数的图象如下图6/17/202156/17/2021

2、6二、插值法的类型且满足其中为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值；若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值6/17/202172.2拉格朗日插值此插值问题可表述为如下：问题求作次数多项式，使满足条件这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。6/17/20218问题求作一次式，使满足条件从几何图形上看，表示过两点的直线，因此可表示为如下点斜式：2.2.1线性插值与抛物插值一、线性插值—点斜式6/17/20219从几何图形上看，表示过两点的直线，因此也可表示为如下对称

3、形式：其中，显然，二、线性插值—对称式6/17/202110线性插值举例例1:已知，，求代入点斜式插值多项式得y=10.71428精确值为10.723805，故这个结果有3位有效数字。6/17/202111线性插值的局限性6/17/202112问题求作二次式，使满足条件二次插值的几何解释是用通过三个点的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性插值，构造基函数，要求满足下式：三、抛物插值6/17/2021136/17/202114(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)f(x0)+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)f(x1)+

4、(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)f(x2)L2(115)=x0=100,x1=121,x2=144f(x0)=10,f(x1)=11,f(x2)=12(100–121)(100–144)(115–121)(115–144)*10+(121–100)(121–144)(115–100)(115–144)*11+(144–100)(144–121)(115–100)(115–121)*12=10.7228抛物插值举例例2：L2(x)=和用线性插值相比，有效数字增加一位6/17/202115为了构造，我们先定义n次插值基函数。2.2.2拉格朗日n次

5、插值多项式定义：若n次多项式在n+1个节点上满足条件6/17/202116n+1次多项式对n=1及n=2时的情况前面已经讨论，用类似的推导方法，可得到n次插值基函数为：6/17/202117且从而6/17/202118其中总结称为y=f(x)的拉格朗日插值多项式称为n次拉格朗日插值基函数6/17/202119例3：求过点(2，0)(4，3)(6，5)(8，4)(10，1)的拉格朗日插值多项式。6/17/2021206/17/2021216/17/2021226/17/202123拉格朗日插值多项式的缺点：（1）插值基函数计算复杂（2）高次插值的精度不一定高6/1

6、7/2021242.2.3插值余项与误差估计一、插值余项满足不会完全成立因此，插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？6/17/2021256/17/202126令设其中证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为6/17/202127若引入辅助函数6/17/202128根据罗尔定理,再由罗尔定理,依此类推由于6/17/202129所以因此6/17/202130则注意（1）余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能应用。（2）在内的具体位置通常不可能给出，所以，设6/17/202131例1:解:6/17/2021326/17/20213

7、3例2.并作图比较.解:6/17/202134不同次数的拉格朗日插值多项式的比较图Runge现象6/17/202135结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.P482、3、4本章作业6/17/202136