高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题10 数学思想 第38练 数形结合思想 文

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1、第38练　数形结合思想[思想方法解读]　数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为

2、简，从而得到解决．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的．体验高考

3、1．(2015·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)A．{x

4、－1＜x≤0}B．{x

5、－1≤x≤1}C．{x

6、－1＜x≤1}D．{x

7、－1＜x≤2}答案　C解析　令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图.由　得∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x

8、－1

9、f(x)

10、≥g(x)时，h(x)＝

11、f(x)

12、；当

13、f(x)

14、

15、最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值答案　C解析　由题意得，利用平移变化的知识画出函数

16、f(x)

17、，g(x)的图象如图，而h(x)＝，故h(x)有最小值－1，无最大值．3．(2015·重庆)若函数f(x)＝

18、x＋1

19、＋2

20、x－a

21、的最小值为5，则实数a＝________.答案　4或－6解析　由于f(x)＝

22、x＋1

23、＋2

24、x－a

25、，当a>－1时，f(x)＝作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，即a＋1＝5，∴a＝4.同理，当a≤－1时，－a－1＝5，∴a＝－6.高考必会题型题型一　数形结合在方程根的个数中的

26、应用例1　方程sinπx＝的解的个数是(　　)A．5B．6C．7D．8答案　C解析　在同一平面直角坐标系中画出y1＝sinπx和y2＝的图象，如下图：9观察图象可知y1＝sinπx和y2＝的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，在加上原点，共7个交点，所以方程sinπx＝有7个解．点评　利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采

27、用，不要刻意去数形结合．变式训练1　若函数f(x)＝有且只有两个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)A．(－4,0)B．(－∞，0]C．(－4,0]D．(－∞，0)答案　B解析　当x>0时，f(x)＝lnx与x轴有一个交点，即f(x)有一个零点．依题意，显然当x≤0时，f(x)＝－kx2也有一个零点，即方程－kx2＝0只能有一个解．令h(x)＝，g(x)＝kx2，则两函数图象在x≤0时只能有一个交点．若k>0，显然函数h(x)＝与g(x)＝kx2在x≤0时有两个交点，即点A与原点O(如图所示)．显然k>0不符合题意．若k<0，显然函数h(x)＝与g(x)＝kx2在x

28、≤0时只有一个交点，即原点O(如图所示)．9若k＝0，显然函数h(x)＝与g(x)＝kx2在x≤0时只有一个交点，即原点O.综上，所求实数k的取值范围是(－∞，0]．故选B.题型二　利用数形结合解决不等式函数问题例2　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是________．答案　(0,1)解析　当x≥2时，f(x)＝，此时f(x)在[2，＋∞)上单调递减，且0