2019-2020年高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题10数学思想第37练函数与方程思想

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1、2019-2020年高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题10数学思想第37练函数与方程思想[思想方法解读]　1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想

2、方法．2．函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．1．(xx·湖南)已知函数f(

3、x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．答案　(－∞，0)∪(1，＋∞)解析　函数g(x)有两个零点，即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点．①若a<0，则当x≤a时，f(x)＝x3，函数单调递增；当x>a时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)

4、实线部分所示，其与直线y＝b至多有一个公共点．③若a>1，则a3>a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．综上，a<0或a>1.2．(xx·安徽)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________(写出所有正确条件的编号)．①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.答案　①③④⑤解析　令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x

5、2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要有一根，f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，②错误．所有正确条件为①③④⑤.3．(xx·课标全国甲)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交

6、点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)等于(　　)A．0B．mC．2mD．4m答案　B解析　方法一　特殊函数法，根据f(－x)＝2－f(x)可设函数f(x)＝x＋1，由y＝，解得两个点的坐标为此时m＝2，所以(xi＋yi)＝m，故选B.方法二　由题设得(f(x)＋f(－x))＝1，点(x，f(x))与点(－x，f(－x))关于点(0,1)对称，则y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．又y＝＝1＋，x≠0的图象也关于点(0,1)对称．则交点(x1，y1)，(x2，

7、y2)，…，(xm，ym)成对，且关于点(0,1)对称．则(xi，yi)＝i＋i＝0＋×2＝m，故选B.高考必会题型题型一　利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1　(xx·天津)已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程

8、f(x)

9、＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　)A.B.C.∪D.∪答案　C解析　由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0

10、f

11、(x)

12、和y＝2－x的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，

13、f(x)

14、＝2－x有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，

15、f(x)

16、＝2－x同样有且仅有一个解．当3a>2，即a>时，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得a＝或a＝1(舍去)；当1≤3a≤2，即≤a≤时，由图象可知，符合条件．综上所述，a∈∪.故选C.点评　函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解