高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题11 数学方法 第41练 配方法与待定系数法 文

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1、第41练　配方法与待定系数法[题型分析·高考展望]　配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简．如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完全配方．配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例

2、如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．高考必会题型题型一　配方法例1　(1)设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，则a的值是________．(2)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________．(3)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上取一点P，使·有最小值，则P点的坐标是________．答案　(1)　(2)　(3)(3,0)解析　

3、(1)由题意知f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2)＝＝(logax＋)2－.当f(x)取最小值－时，logax＝－，又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．∵f(x)是关于logax的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8处取得．13若(loga2＋)2－＝1，则a＝2，f(x)取得最小值时，x＝(2)＝∉[2,8]，舍去．若(loga8＋)2－＝1，则a＝，f(x)取得最小值时，∴a＝.(2)y＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sin2x－sinx)＋1＝－2(sinx－)2＋2×＋1＝－2(sinx－)2＋

4、.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝时，y取最大值，最大值为.(3)设P点坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值1，∴此时点P坐标为(3,0)．点评　配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b213，具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方．它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数

5、式的讨论与求解等问题．如：y＝x2＋bx＋c＝x2＋2×x＋()2－()2＋c＝(x＋)2＋，y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c＝a[x2＋2×x＋()2－()2]＋c＝a(x＋)2＋.变式训练1　(1)若函数f(x)＝m－的定义域为[a，b]，值域为[a，b]，则实数m的取值范围是________．(2)已知函数y＝－sin2x＋asinx－＋的最大值为2，则a的值为________．(3)已知向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则的取值范围是________．答案　(1)－

6、－2或　(3)[－6,1]解析　(1)易知f(x)＝m－在[a，b]上单调递减，因为函数f(x)的值域为[a，b]，所以即两式相减得，－＝a－b＝(a＋3)－(b＋3)＝()2－()2，所以＋＝1，因为a1，即a>2时，函数y＝－(t－)2＋(a2－a＋2)在[

7、－1,1]上单调递增，所以由ymax＝－1＋a－a＋＝2，得a＝.③当<－1，即a<－2时，函数y＝－(t－)2＋(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由ymax＝－1－a－a＋＝2，得a＝－2(舍去)．综上，可得a＝－2或a＝.(3)由题意知，2b＝(2m，m＋2sinα)，所以λ＋2＝2m，且λ2－cos2α＝m＋2sinα，于是2λ2－2cos2α＝λ＋2＋4sinα，即2λ2－λ＝－2sin2α＋4sinα＋4＝－2(sinα－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即解得－≤λ≤2，则＝＝2－∈[－6,1]．题型二　待定系数法例2　(1)(201

8、5·课标全国Ⅱ)设向量a，b不平行，向