高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题11 数学方法 第43练 配凑法与构造法 文

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1、第43练　配凑法与构造法[题型分析·高考展望]　配凑法是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法．两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知．构造法解题有时虽然经历了一条曲折迂回的道路，并且往往经历了更多的巧思，联想，挖掘，但是它往往能独辟蹊径，顺利解决问题．这有利于让学生形成挖掘题目隐含条件的良好习惯，有利于提高学生的创造性思维品质，从而提高创新意识，也有利于培养学生的研究能力．高考必会题型题型一　配凑法例1　已知函数f(x)＝x3＋3ax－1的导函数

2、为f′(x)，g(x)＝f′(x)－ax－3.(1)若x·g′(x)＋6>0对一切x≥2恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对满足0≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，求实数x的取值范围．解　(1)∵f′(x)＝3x2＋3a，∴g(x)＝3x2＋3a－ax－3，∴g′(x)＝6x－a，即6x2－ax＋6>0对一切x≥2恒成立⇒a<6x＋对一切x≥2恒成立，记h(x)＝6x＋，则在x≥2上a

3、3＜0对一切0≤a≤1恒成立，若x＝3，则g(x)＝3x2＋3a－ax－3＝24＞0不满足，∴x∈∅，若x<3，则a<对一切0≤a≤1恒成立⇒>1⇒03，则a>对一切0≤a≤1恒成立⇒<0⇒3－3x2>0⇒－1

4、使用该思想方法．变式训练1　设非零复数a，b满足a2＋ab＋b2＝0，求()1998＋()1998.解　由a2＋ab＋b2＝0变形得，()2＋＋1＝0，设ω＝，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以＝，ω3＝3＝1.又由a2＋ab＋b2＝0变形得(a＋b)2＝ab，所以()1998＋()1998＝()999＋()999＝()999＋()999＝ω999＋999＝2.题型二　构造法例2　求证：ln(n＋1)>＋＋＋…＋.解　构造函数f(x)＝lnx－(x>0)，f′(x)＝－＝>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．所以当x>1时，有f(x)>f(1)＝0

5、，即有lnx>(x>1)，因而令x＝，则有ln>，分别取k＝1,2,3，…可得，10ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，即有ln(n＋1)>＋＋＋…＋.点评　构造法在高中数学中已有了比较广泛的应用，它是数学方法的有机组成部分．是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数解决问题．首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径．其次数量关系是数学中的一种基本关系，现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性．因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的

6、主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在．变式训练2　求证：ln2<＋＋…＋0)，f′(x)＝－＝，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．所以有f(x)＝lnx－≥f(1)＝0，即lnx>(x>0)，令x＝，因而有ln>－，即>ln(k＋1)－lnk，所以有＋＋…＋>ln(3n＋1)－ln(n＋1)＝ln≥ln2.同理有ln>，即

7、1时，求y＝x3－x2－x＋1的值．解　由条件得x＝＋1，所以x－1＝，构造x－1的因式，y＝x3－x2－x＋1＝(x3－2x2－2x＋2)＝[x(x－1)2－3x＋2]＝(3x－3x＋2)＝1.2．已知a，b，c为正数，求函数y＝＋的最小值．解　构造向量a＝(x，a)，b＝(c－x，b)，则原函数就可化为y＝

8、a

9、＋

10、b

11、≥

12、a＋b

13、＝＝，∴ymin＝.3．求证：－≤－2x≤.证明　令y＝(y≥0)，则其图象是椭圆＋＝1的上半部分，设y－2x＝m，于是只需证－≤m≤，因m为直线y＝2x＋m在y轴上的截距，由图可知：当直线y＝2x＋m过点(，0)时，m有最小值m