圆锥曲线复习一 椭圆(附详细解答)

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1、圆锥曲线第一节椭圆基础知识1．椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质条件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围

4、x

5、≤a；

6、y

7、≤b

8、x

9、≤b；

10、y

11、≤a对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0，±b)长轴顶点(0，±a)短轴顶点(±b,0)焦点(±c,0

12、)(0，±c)焦距

13、F1F2

14、＝2c(c2＝a2－b2)离心率e＝∈(0,1)，其中c＝通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为小题检测1．(教材习题改编)设P是椭圆＋＝1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则

15、PF1

16、＋

17、PF2

18、等于(　　)A．4　　　　B．8C．6D．18解析：选C　依定义知

19、PF1

20、＋

21、PF2

22、＝2a＝6.2．(教材习题改编)方程＋＝1表示椭圆，则m的范围是(　　)A．(－3,5)B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5)D．(－5,1)∪(1,3)解析：选C　由方程表示椭圆知解得－3＜m＜5且m≠1.73

23、．(2012·淮南五校联考)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)A．－21B．21C．－或21D.或21解析：选C　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝，即＝，得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c＝8，∴c＝4，∴e＝＝＝，故a＝8.又∵b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝1考点一椭圆的定义及标准方程例1　(1)设，，若的周长为18，则动点A的轨迹

24、方程为是（）A.　　　B.C.D.答案：A(2)(2012·山东高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)A.＋＝1　　　B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1[解答]　∵椭圆的离心率为，∴＝＝，∴a＝2b.故椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，7∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，∴b2

25、＝5，即a2＝4b2＝20.故椭圆C的方程为＋＝1.答案　D由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题．2．椭圆方程的求法多用待定系数法。3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)．以题试法1.　(2013·广东高考)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且

26、AB

27、＝3，则C的方程为(　　)A.＋y2＝1　　　　B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1[解析]　(1)由题意知椭圆

28、焦点在x轴上，且c＝1，可设C的方程为＋＝1(a>1)，由过F2且垂直于x轴的直线被C截得的弦长

29、AB

30、＝3，知点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝(舍去)．故椭圆C的方程为＋＝1.考点二椭圆的几何性质例2．(1)已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点的坐标为(3,0)，

31、

32、＝1，且·＝0，则

33、

34、的最小值为________．解析：由

35、,

36、＝1，A(3,0)知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵,·,＝0且P在椭圆上运动，∴PM⊥AM，∴PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，

37、则

38、,

39、＝＝，∴当

40、,

41、min＝a－c＝5－3＝2时，

42、,

43、min＝.答案：　(2)(2012·江西高考)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1、F2，若

44、AF1

45、，

46、F1F2

47、，

48、F1B

49、成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)7A.　　　　B.C.D.－2解析：(2)由题意知

50、AF1

51、＝a－c，

52、F1F2

53、＝2c，

54、F1B

55、＝a＋c，且三者成等比数列，则

56、F1F2

57、2＝

58、AF1

59、·

60、F1B

61、，即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，所以e2＝，故e＝.[答案]B由题悟法⑴求离心率实质上是建立a，b，c

62、之间的关系，利用e＝去整体求解．⑵解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．以题试法2．F1、F2是椭圆＋y2＝1的左右焦