高中数学复习专项：圆锥曲线复习总结—椭圆(附答案解析)

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1、圆锥曲线复习——椭圆高考对椭圆的考查趋势：1）椭圆定义的灵活应用。2）利用标准方程研究几何性质尤其是离心率求值问题。3）求椭圆的标准方程。4）椭圆与平面向量、数列等知识交汇题。一、椭圆的定义：平面上到两个定点,的距离之和为定值（大于）的点的轨迹叫做椭圆。焦点：两定点,；焦距：两焦点的距离（）集合P＝{M

2、

3、MF1

4、＋

5、MF2

6、＝2a}，

7、F1F2

8、＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．【例题1】：若椭圆上一点p到焦点的距离为6，则点p到另一个焦点的距离为________.（4）【

9、解析】：由椭圆的定义可知：所以点p到其另一个焦点的距离为：=10-6=4.【例题2】：已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)．A．2B．6C．4D．12【例题3】(湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A．4aB．2(a－c)

10、C．2(a+c)D．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况:OxyDPABCQ(1),此时小球经过的路程为2(a－c);(2),此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面一、椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形范围对称性关于x轴，y轴，坐标原点对称关于x轴，y轴，坐标原点对称顶点A1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）A1（0，-a），A2（0，a）B1（-b，0），B2（b，0）轴长轴的长为2a，短轴的长为2b焦距离心率a，b，c的关系c2＝a2－b2【例题1】已知方程,讨论方

11、程表示的曲线的形状[解析]当时，，方程表示焦点在y轴上的椭圆，当时，，方程表示圆心在原点的圆，当时，，方程表示焦点在x轴上的椭圆【例题2】已知椭圆焦点在y轴上，若焦距为4，则m=_________.【解析】由题意知：m-2>10-m>0,所以6

12、2的面积为9，则可得：，整理可得=，由此可得三．椭圆标准方程的求法.求椭圆的标准方程有两种方法：定义法和待定系数法。1.定义法：根据椭圆的定义，确定a,b的值，结合焦点位置可写出椭圆方程。2.待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b的值；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论。求椭圆标准方程的几种情况：1）已知焦点坐标，和a。【例题1】焦点在（-3,0）和（3,0），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和为10.解：由题意可知由可得椭圆的标准方程为1）已知焦点坐标，和a与b之间的关系。【例题2】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2

13、，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．解：已知为所求；3）已知焦点坐标，和椭圆上一点坐标。【例题3】求过点（），且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程。【解析】方法一：椭圆的焦点为（0，-4），（0,4），即c=4.由椭圆定义可知：。解得。由。由此求得椭圆的标准方程为：方法二：椭圆的焦点为（0，-4），（0,4），焦点在y轴上，且c=4.设所求椭圆的标准方程为：。因为c=4，且又点（）在所求椭圆上，所以，联立方程可得b=2，a=2。4）未知焦点坐标，只知椭圆上两点坐标。【例题4】已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，并经过两点A(1，)，B(2，0).求椭圆的标准方程

14、。【解析】：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为椭圆的标准方程，避免讨论和繁杂的计算。也可设.5）其他类型【例题】设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．［警示］易漏焦点在y轴上的情况．【训练】(1)求长轴是短轴的3倍