第一章 计量经济学的数理统计学基础

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1、计量经济学的数理统计学基础一、随机变量的概率分布1．随机变量随机变量是指取值具有随机性的变量。随机变量有两种：离散随机变量和连续随机变量。2．离散随机变量的概率分布（1）概率函数通常用一个二维表格直观描述离散随机变量X的概率分布：X…P…其中，（2）分布函数累计分布概率：3．连续随机变量的概率分布（1）概率函数用概率密度函数描述，它满足以下性质：；；（2）分布函数累计分布函数；另有：二、随机变量的数字特征（分布参数）1．数学期望数学期望记为或对于离散变量，；对于连续变量，性质：2．方差方差记为或性质：；.3．标准差（均方差）标准差4．矩矩称为变量X的阶

2、矩，时就是X的期望。5．协方差协方差用于度量两个变量的线性相关程度，记为或；.意味着两个变量同方向变动，称之为正相关；称之为负相关；称之为不相关。相关系数；.如果独立，那么，三、样本统计量1．总体和样本所谓总体就是一个随机变量X，X的分布函数通常记为，其中就是待估计的参数。在进行n次重复独立实验后，得到总体X的n个观察值，而在实验之前，实际上是相互独立均与总体X同分布的n个随机变量。称为总体X的容量为n的简单随机样本，简称样本；称为样本的一个观察值，简称样本值。2．常见的样本统计量l统计量的概念设是来自总体X的一个样本，若随机变量的函数中不含有任何未知

3、参数，则称为一个统计量。注意：统计量本身是一个随机变量；其值可由样本值计算出来。l最常见的统计量有：样本均值；样本方差；样本标准差；样本k阶原点矩；样本k阶中心矩。假设，，是某个X和Y联合分布的样本，那么样本协方差样本相关系数四、抽样分布1．几个常用分布l正态分布定义：如果随机变量X的密度函数为则称X服从参数为μ、σ的正态分布，通常记为X~N(m,s2)。令，那么服从标准正态分布N(0,1)，l卡方分布假设n维向量X~N(0,)，那么；lt-分布假设两个独立的随机变量Z~N(0,1)，Y~，那么lF-分布假设和是两个独立的卡方分布，那么2．样本均值的分

4、布总体X~N(m,s2)样本~N(m,s2)则：~N(m,s2/n)3．样本方差的分布~4．样本均方差的分布~四、区间估计l临界值的概念设的分布函数为，满足，则称为的临界值。对称分布的临界值非对称分布的临界值l区间估计对于参数，如果有两个统计量,，满足对给定的，有则称区间[，]是的一个区间估计或置信区间，、分别称作置信下限、置信上限，称为置信水平。置信水平为1-，在实际上可以这样理解:如取，就是说若对某一参数取100个容量为的样本，用相同方法做100个置信区间。[，]，=1,2,…,100,那么其中有95个区间包含了真参数．因此,当实际上只做一次区间估

5、计时，我们有理由认为它包含了真参数。这样判断当然也可能犯错误，但犯错误的概率只有5%。寻找置信区间的通常方法是从已知抽样分布的统计量，如上文提到的U，X和T入手，由于分布和概率已知，只要确定临界值就可以了。单个正态总体参数的区间估计设为的样本，对给定的置信水平，，求参数和方差的区间估计。情况1（已知）由于，所以容易找到临界值，使得，那么的区间估计是：。情况2（未知）情况3（的区间估计）五、假设检验l假设检验的基本思想在数理统计中，假设检验是这样一个过程：对未知总体，先作出某种假设，然后利用样本提供的信息，对这一假设的合理性进行检验，从而确定接受或拒绝这

6、一假设。在进行假设检验时，有两点值得注意：①反证法思想。②“小概率事件”在一次实验中不会发生。l假设检验的步骤第一步，建立假设；这里称为原假设，称为备择假设。注意：在假设检验中，原假设与备选假设的地位是不对等的。一般来说是较小的，因而检验推断是“偏向”原假设，而“歧视”备选假设的。既然是受保护的，则对于的肯定相对来说是较缺乏说服力的，充其量不过是原假设与试验结果没有明显矛盾；反之，对于的否定则是有力的，且越小，小概率事件越难于发生，一旦发生了，这种否定就越有力，也就越能说明问题。在应用中，如果要用假设检验说明某个结论成立，那么最好设为该结论不成立。第二

7、步，构造统计量，求出统计量的样本分布以及由样本观察值算出其具体值。统计量在成立的条件下，对应的具体值记为。第三步，根据备择假设构造出对不利的小概率事件——在给定显著性水平下，确定临界值，构造出拒绝域。在一个问题中，通常指定一个正数（），认为概率不超过的事件是在一次试验中几乎不会发生的事件，称为显著性水平。=0.05，算出临界值。，这里V是拒绝域，它是使得这一小概率事件发生的样本空间的点的全体。第四步，得出结论方法1：根据计算出来的值，看样本是否落在内，若落在内，则拒绝，否则,不能拒绝。如果，则称能以的显著性水平拒绝零假设；否则，不能拒绝零假设；方法2：

8、比较p值和。p值定义为拒绝零假设的最大的显著性水平；，也就是在t-分布中大于统计量的概率。比较