计量经济学数学基础

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1、WORD文档下载可编辑《计量经济学》数学基础数学基础(Mathematics)第一节矩阵(Matrix)及其二次型(QuadraticForms)第二节分布函数(DistributionFunction)，数学期望(Expectation)及方差(Variance)第三节数理统计（MathematicalStatistics）第一节矩阵及其二次型(MatrixanditsQuadraticForms)1.1矩阵的基本概念与运算一个m×n矩阵可表示为：矩阵的加法较为简单，若C=A+B，cij=aij+bij但矩阵的乘法的

2、定义比较特殊，若A是一个m×n1的矩阵，B是一个n1×n的矩阵，则C=AB是一个m×n的矩阵，而且，一般来讲，AB≠BA，但如下运算是成立的：l结合律（AssociativeLaw）(AB)C=A（BC）l分配律（DistributiveLaw）A(B+C)=AB+AC问题：(A+B)2=A2+2AB+B2是否成立？向量（Vector）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。行向量(rowvector)是只有一行的向量，列向量(columnvector)只有一列的向量。如果α是一个标量，则αA=[αaij]。矩阵

3、的转置矩阵(transposematrix)记为，是通过把的行向量变成相应的列向量而得到。显然()′=，而且（+）′=+，l乘积的转置（Transposeofproduction），。l可逆矩阵（inversematrix），如果n级方阵(square专业技术资料精心整理分享WORD文档下载可编辑matrix)A和B，满足AB=BA=I。则称A、B是可逆矩阵，显然，。如下结果是成立的：。1.2特殊矩阵1）恒等矩阵(identitymatrix)对角线上元素全为1，其余全为0，可记为I；2）标量矩阵(scalarmatr

4、ix)即形如αI的矩阵，其中α是标量；3）幂等矩阵(idempotentmatrix)如果矩阵具有性质，这样的矩阵称为幂等矩阵。定理：幂等矩阵的特征根要么是1，要么是零。4）正定矩阵（positivedefinite）和负定矩阵（negativedefinite），非负定矩阵(nonnegative　)　或　半正定矩阵（positivesemi-definite），非正定矩阵(nonpositivedefinite)　或　半负定矩阵（negativesemi-definite）；对于任意的非零向量，如有＞0（＜0），则

5、称A是正（负）定矩阵；如有≥0（≤0），非负（非正）定矩阵。如果A是非负定的，则记为A≥0；如果是正定的，则记为A＞0。协方差矩阵是半正定矩阵，几个结论：a）恒等矩阵或单位矩阵是正定的；b）如果是正定的，则也是正定的；c）如果是正定的，是可逆矩阵，则是正定的；d）如果是一个n×m矩阵，且n＞m，，则是正定的，是非负定矩阵。5）对称矩阵（symmetricmatrix）；如果=′，则称为对称矩阵。1.3矩阵的迹（trace）一个n×n矩阵的迹被定义为它的对角线上的元素之和，记为，则，如下结论是显然的。专业技术资料精心整理

6、分享WORD文档下载可编辑1）（是标量）特例2）3）4），特例５）循环排列原则　tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC)定理：实对称矩阵A的迹等于它的特征根之和。因为A是实对称矩阵，故有在矩阵C，使得，其中，所以，。1.4矩阵的秩(rank)一个矩阵A的行秩和列秩一定相等，一个矩阵的秩就可以定义为它的行秩或列秩，记为r(A)，不加证明，我们给出如下结果：1）≤（行数、列数）2）≤≤，其中A、B分别为m×n1、n1×n矩阵，特例：如果A、B为n×n矩阵，而且AB=0，则≤3），其中是n×n的

7、方阵4）≤5）设是n×n矩阵，且，则6）设是n×n矩阵，且，则1.5统计量的矩阵表示向量可理解为特殊的矩阵。是一个其元素都为1的n维列向量，即=（1，1，…，1），如果我们再假定专业技术资料精心整理分享WORD文档下载可编辑，计量经济模型中的许多统计量就可以用矩阵的形式表示出来，很方便进行数学推导。显而易见，，，样本的均值与方差的矩阵表示如下：1）样本均值矩阵表示；事实上即，而，；2）样本方差矩阵表示易知：。其中矩阵是一个每个元素都为的阶方阵，从而。矩阵的对角线上的元素为，非对角线的元素为，是一个对称矩阵。故样本方差：

8、。定理：矩阵是幂等矩阵。1.6矩阵的二次型与多元正态分布1）矩阵的二次型（QuadraticForms）和线性变换（linear　transferring）设P是一数域，一个系数在数域P中的的二次齐次多项式……………………………（1）称为数域P上的一个n元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型。例如专业技术资料精心整理分享WOR