2013级高等数学(2-2)课程期中试卷参考答案

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1、重庆大学试卷教务处07版第4页共4页命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学2013级《高等数学（II-2）》期中试卷参考答案一．单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设有平面与平面，则与的夹角为（C）（A）（B）（C）（D）（2）设有直线及平面，则直线（A）（A）平行于（B）在上（C）垂直于（D）与斜交（3）二元函数在处两个偏导数，连续是的（A）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要（4）二元函数在点处（D）（A）连续，偏导数不存在（B）偏导数存在，不可微（C）偏导数连续（D

2、）偏导数不连续，可微（5）心形线，所围成的面积为（B）（A）（B）（C）（D）二．填空题（每空4分，共24分）（1）已知函数在任意点处的增量，且当时，是的高阶无穷小，，则等于。（2）设则在点处的值为。（3）曲面在的法线方程为。（4）设，则。（5）已知三角形的顶点分别为，，。则三角形的面积。（6）由曲线绕轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为.。三．计算题（每小题8分，共40分）1．求阿基米德螺线，相应于从到一段弧的长度。解：弧长元素，，重庆大学试卷教务处07版第4页共4页，，。2．求极限解：，3.求由方程组所确定的，的导数。解：视，为的可导函数，，变形为，有：，有：。4设

3、，其中具有连续的二阶偏导数，求.解：，5.求直线绕轴旋转所得的旋转面的方程，它代表什么曲面？解：设为旋转面上任一点，为直线上对应的点。则，故所求旋转面方程为重庆大学试卷教务处07版第4页共4页，它是单叶双曲面。四．证明题（第1小题8分，第2小题6分，共14分）1.设函数，证明在处沿任一方向的方向导数都存在，但在处不可微。证：当时，。当时，又，在不连续，故在不可微。2.设,在内可微,且满足。求证:在内恒为常数。证:令，则。对任一方向(径向)，,则为的一元可微函数,且，，故，即在每一条从圆心出发的射线上,满足。故，，即在内恒为常数。五、应用题（7分）一架飞机以常速在16千公尺高空飞行，在飞

4、经地面导弹基地上空时基地发射导弹，导弹始终瞄准飞机，设导弹飞行速度为。（1）建立微分方程重庆大学试卷教务处07版第4页共4页（1）写出初始条件（2）求导弹的飞行轨迹。解：（1）建立如图所示的坐标系，设为导弹飞行轨迹上任一点，则该曲线在点的切线方程为令，得，由题设知对求导，得微分方程为①（2）初始条件为（3）令则，代入①得即积分得所以再积分得将初始条件代入得故导弹的飞行轨迹方程为