98级高等数学(上)期中试题

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1、98级高等数学(上)期中试题一、填空题（3×8=24分）1．.解：∵，，∴。2．若在内连续，则-2。解：，∴。3．若，其中可导，则.解：.4.若，则1.解：。5.函数由方程确定，则。7解：，，。6．函数的带拉格朗日余项的三阶麦克劳林公式为。解：，，，，∴（在与之间）。7．若，则。解：，。8．曲线的单增区间为，下凸区间为。解：的定义域为，，，令，得；令，得。12+0------0+7二、选择题（4×4=16分）9．当时，与为等价无穷小，则必有（A）（A），；（B），；（C），；（D），。解：，。10．函数的不可导点的个数是（C）（A）3；（B）2；（C）1；（D）0。解：的可能不可导点

2、为，。∵，，∴。∵，，∴不存在。11．曲线（C）（A）没有渐近线；（B）有一条渐近线；（C）有二条渐近线；（D）有三条渐近线。7解：∵，∴曲线无水平渐近线；∵，∴直线是曲线的垂直渐近线；∵，，∴直线是曲线的斜渐近线。12．已知在的某邻域内连续，且，则在处（D）（A）不可导；（B）可导且；（C）取得极大值；（D）取得极小值。解：∵在连续，∴，∵，∴，∴当时，。故应选（D）。三、解答题（30分）13．设，求（6分）解：，，。14．求极限：（6分）7解：。15．设函数由方程确定，试求它的驻点，并判定它是否为极值点，如果是极值点，是极大点还是极小点？（8分）解：，即，①令，得，代入原方程，得

3、，，得唯一驻点，此时，再对①式两边求导，得，，②把，，代入②式，得，∴是极小值点。16．试确定的范围，使方程有实根。（10分）解题思路：设，。当且仅属于函数的值域时，方程有实根。首先确定在内的值域。为此需要求的极值。，令，得唯一驻点，∵，∴是极小值，也是最小值，又∵，，7∴的值域是，∴当时，直线才能与曲线相交，这时方程才能有实根。四、应用题（2×10=20分）17．设某银行中的总存款量与银行付给存户年利率的平方成正比。若银行以的年利率把总存款的贷出，问银行给存户的年利率定为多少，它才能获得最大利润？解：设银行付给存户的年利率为，总存款量为，总利润为，则（为常数），，即，，，令，得，(

4、应舍去)。∵，∴是极大值点，也是最大值点。∴当银行给存户的年利率定为时，才能获得最大利润。18.一盏高的路灯照在一个距灯远，从高处自由下落的球上，球的影子沿水平地面移动，求当球离地面高时影子移动的速度（空气阻力忽略不计）。解：以灯柱与地面的交点为原点，灯柱所在的直线为轴，建立平面直角坐标系。灯的位置为，球的初始位置为。设球下落离地面时，影子距原点的，则有7，，∴，∵，，∴当时，由，得，。∴所求影子移动的速度为。五、证明题（10分）19．设在连续，在内可导，，试证：，使。分析：即证。这题是要证明存在两个中间值，，满足等式。由于用一次中值定理只能找到一个中间值，故要用两次中值定理才能解决

5、问题。证明：设，，∵和在上满足中值定理，∴，使，，∵，∴，从而。7