泛函分析第1章预备知识

《泛函分析第1章预备知识》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章预备知识第1章预备知识泛函分析是现代数学的重要分支之一，它起源于经典数学和物理学中的一些变分问题，是分析数学的高度发展。其内容主要涉及无穷维空间及其上定义的算子和泛函的基本理论，并且综合地运用了代数、几何与分析等经典学科中的观点和方法。为了学好泛函分析，了解实数空间及其上函数的有关理论是十分必要的。1.1集合的一般知识1.1.1集合及其运算1.集合的概念集合式现代数学的一个基本概念。一般地说，把具有某种公共特性的或满足一定条件的对象全体叫做集合，简称集。其中每个对象叫该集合的元素。本书基本上用大写字母表示

2、集合，用小些字母表示集合的元素。集合的特点：集合具有任意性、确定性和互异性。即任意一些对象都可构成集合，集合中的每一个元素必须是确定的，集合中的每个元素都是不同的。集合的表示方法：列举法、解析法、区间法。列举法是把集合元素一一列举出来，用花括号扩上，如集合；解析法是把集合中的元素的公共属性描述出来，用花括号扩上，如集合表示所有大于等于且小于等于的实数集全体；区间法适用于实数集合分段表示的子集，如表示大于等于且小于等于的实数集。表示大于且小于的实数全体。设是集合，是集合中的元素，记为，而记号表示不是中的元素；不包

3、含任何元素的集合成为空集，记为；给定，两个集合，如果中的每个元素都属于，则说是的子集，记为或；规定集市任何集合的子集；若且，则称与相等，记为；若，，则称为的真子集；2.集合的运算集合的并与交：设，是两个集合，由集合与的全体元素构成的集叫与的并，记为，即；所有同时属于集合第一章预备知识。差集与余集：设与是两个集，由集中不属于集中的那些元素组成的集合叫与的差集，记为；特别当时，常称差集为关于的余集或补集，记为，如果我们仅考察某固定集的某一些子集时，则常记为。由定义易证集的运算满足如下运算规律：（1）幂等律；（2）交

4、换律；（3）结合律；（4）分配律；（5）律。证明：我们只证，其余留给读者自证。设，则，可知，必存在某个，有，故，从而，这就证明了；反之，，设，则存在某一个，使，即，有，这说明，所以。由所得两个结果，知。集合的运算体现了“对偶”原理，也就是说，当一个集的关于关系式成立，则将式中和分别换成和时，所得的关系式也成立。而且律也给我们提供了讨论集合有关性质时，可利用其补集的有关性质讨论的方法，这很重要。直积：设施给定的非空集合，所有有序元素组为元素组成的集合称为与的直积，记为，即。例如平面点集就是实数集与它自身的直积。类

5、似地，有限个非空集，它们的直积定义为：第一章预备知识，直积是集的重要运算之一。上限集与下限集：设是任意一列集，由属于上述集列中无限多个集的那些元素的全体组成的集成为这一集列的上极限或上限集，记为：不难证明：同样，属于上述集列中每个集的元素全体所组成的集（除有限个外），称为这一集列的下限集或下极限，记为。它可表示为：由上限集，下限集的定义易知，。关于上限集、下限集还有如下结论：（1）；（2）。证明：我们利用来证明（1）式。记设，则对于任意取定的，总有，即对任意，总有，故。反之，设，则对任意的，总有，即总存在，有，

6、所以，因此。（2）式同样可以证明。例1．1设是如下一列点集：第一章预备知识求和解：因为，所以如果，则称集列收敛，将这一集称为的极限，记为。如果集列，则收敛于极限集。如果集列满足，则称为增加（减少）集列。增加与减少的集列统称为单调集列。易证单调集列是收敛的。如果增加，则；如果减少，则，请读者自证。1.1.2映射映射是函数概念的推广，是研究集合与集合之间的对应关系，它是现代数学中的基本的概念之一。映射与逆映射：设是两个非空集合，如果按照某一对应法则，对每一个，在中有唯一确定的一个元素与之对应，则称为定义在上且取值于

7、内的一个映射，记为，并将与之间的关系记为。此时称为的定义域，而称为的值域（或像）。若，则称是满射，即为到上的映射。如果对每一个，存在唯一的，有，则说是上的一个单射，或说是到上的一一映射。此时的逆映射：存在，且。若为数集，映射称为函数。第一章预备知识显然，任何一个严格单调的函数，都可以看成它的定义域到它的值域的一一映射。如函数是到上的单调函数，是一一映射。函数虽然是一一映射，但不一定是单调的，如上的函数不是到上的单调函数，但是一一映射。不过我们已有结论：连续函数是一一映射的充要条件是严格单调的。恒等映射：若映射满

8、足条件，则称为上的恒等映射（或单位映射），在不致引起混淆的情况下，可简记为。复合映射：设是两个映射，则称映射且为与的复合映射，记为。映射的性质：设为一映射，都是的子集，则（1）若，有；（2）；（3）。证明留给读者。关系的有关概念自然界各对象间的相关性是科学研究的重要内容，抽象为数学问题就是考察集合间元素的彼此联系，其中重要的基本概念之一就是关系（这里只介绍二元关系）。关系：设、是两个集