泛函分析部分知识总结

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1、泛函分析单元知识总结与知识应用一、单元知识总结第七章、度量空间和赋范线性空间§1度量空间§1.1定义：若X是一个非空集合，d:XxXtR是满足下面条件的实值函数，对于有(1)dgy)=0当且仅当兀=丁；⑵d(x,y)=d(y9x)；(3)d(x,y)5〃(x,z)+d(y,z)，则称d为X上的度量，称(X,d)为度量空间。例：1、设X是一个非空集合，Vx,yeX，当〃(无,刃=卩当心儿则(X,d)'〔0,当兀二y为离散的度量空间。2、序列空间SOO是度量空间3、有界函数全体B(A),d(x,y)=sup

2、x(t)-j；(t)

3、是度量空间teA4、

4、连续函数C

5、a,b］，〃(兀,y)=maxk(t)・y(t)

6、是度量空间a

7、X是度量空间，E和M是X中两个子集，令肪■表示M的闭包，如果EcA?，那么称集M在集E中稠密，当E二X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。即:M在E中稠密o对VxgcM,s.txn—>x｛n—>oo）例：1、n维欧氏空间R"是可分空间；2、坐标为有理数的全体是R"的可数稠密子集；Zoo是不可分空间。§3连续映射§3.1定义（用领域来描述）：对巩的每个£一领域必有X。的某个》一领域V是TVuU,其屮7V表示V在映射T作用下的像。§3.2定理1设F是度量空间（X,〃）到度量空间（Y,2）中的映射，那么T在X0GX

8、连续的充要条件为当£T%o（〃Too）时，必有T%―巩⑺—呵定理2度量空间X到Y屮映射：T是X上连续映射的充要条件为Y屮任意开集M的原像T"M是X中的开集。§4柯西点列和完备度量空间§4.1定义：设X=（X,d）是度量空间，｛xn］是X中点列，如果对0£〉0,日正整数N=N®,使当gn>N时，必有d（xn.xni）<£,则称｛xn｝是X中的柯西点列，如果度量空间（X,d）中每个点列都在（X,〃）中收敛，那么称（X,〃）是完备的度量空间。例：1、C［a,b］是完备度量空间2、厂是完备度量空间3、是完备的度量空间注意：1、Q全体按绝对值距离构成的空间

9、不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列（完备空间中即可反之一定是）3、实系数多项式全体P[a.b],P[a,b]作为C[a,b]的子空间不是完备度量空间§4.2定理1完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）注意：开子空间不完备。§5度量空间的完备化

10、==

11、§5.1定理1（度量空间的完备化定理）设X=（X,d）是度量空间，那么一定存在一完备度量空间文=（文力），使X与文的某个稠密子空间W等距同构，并且乂在等距同构意义下是唯一的，即若（丸2）也是一万倍度量空

12、间,且X与龙的某个稠密空间等距同构，贝与（文,2）等距同构。（其中:若2（7X0）=d（X,y）,称X=（X,d）与（文力）等距同构。）使X为文的稠密子空间。§6压缩映射原理及其应用§6.1定义：设X是度量空间，T是x到x中的映射，如果3«,0

13、设函数/(兀,y)在带状域a

14、称为线性空间。例：1、R"按自身定义的加法和数乘成线性空间2、C

15、a,b

16、按自身定义的加法和数乘成线性空间3、空间rp>0)按自身定义