分类计数原理和分步计数原理

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1、10.1分类计数原理和分步计数原理请同学们回答下面的问题:何时用分类计数原理、分步计数原理呢?答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用加法原理。完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用乘法原理。2.如图,一条电路在从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路？AB解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类,m1=3条第二类,m2=1条第三类,m3=

2、2×2=4,条所以,根据加法原理,从A到B共有N=3+1+4=8条不同的线路可通电。当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。………...ABABm1m1m2m2mnmn点评:我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”。如图:分类计数原理、分步计数原理例1五名旅客在三家旅店投宿的方法有多少种？解：完成这件事，可分成五个步骤：第一步安排旅客A，有3种投宿方法，同理第二步，第三步，第四步，第五步都各自有3种方法，根据分步计数原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有N＝3×3×3×3×3＝35＝243答：五名旅

3、客在三家旅店投宿的方法有243种。例2一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内取小球，可以从4个小球中任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N＝m1＋m2＝5＋4＝9．答：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法．(2)从

4、两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步从第二个口袋内取1个小球，有4种方法，根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是N＝m1×m2＝5×4＝20答：从两个口袋内各取1个小球，有20种不同的取法．例3现有高一学生8名，高二学生12名，高三学生10名组成课外活动小组：(1)选其中一人为组长，有多少种不同选法？(2)每一年级选一名组长，有多少种不同选法？解：（1）选一人作组长，有三类方法：第一类从高一选一名学生，有8种方法；第二类从高二选一名学生，有12种方法；第三类从高三选一名学

5、生，有10种方法，选一人作组长的方法总数为8+12+10=30答：选一人作组长的方法总数为30。（2）每年级选一人作组长，可分三步来完成：第一步从高一选一名学生，有8种方法；第二步从高二选一名学生，有12种方法；第三步从高三选一名学生，有10种方法，即各选一人作组长的方法总数为8×12×10=960答：各选一人作组长的方法总数为960。例4.5名同学报名参加4个课外活动小组(每人限报1个)，共有多少种不同报名方法？例5.5名同学争夺4项竞赛冠军获得者共有多少种可能？解：五名学生依次报名，可分五步来完成．每名学生在四个项目中可任报一项，

6、即每一步都有四种可能．根据分步计数原理，不同的报名方法共有N＝4×4×4×4×4＝45＝1024(种)．答:不同的报名方法共有1024种．解：确定四项冠军人选可分四步来完成：第一步确定第一项冠军人选，有m1＝5(种)可能；第二步确定第二项冠军人选的方法种数,直至第四步都与第一步相同，根据分步计数原理，冠军获得者共有N＝5×5×5×5＝54＝625(种)可能．答:确定四项冠军人选的方法种数共有625种.例5　75600有多少个正约数？有多少个正奇约数？解：(1)75600的每个正约数都可以写成2i·3j·5k·7l(其中i、j、k、l为

7、整数)的形式，其中0≤i≤4，0≤j≤3，0≤k≤2，0≤l≤1．于是，要确定75600的一个正约数，可分四步完成，即分别对i、j、k、l在各自的范围内任取一个数字，这样，i有5种选法，j有4种选法，k有3种选法，l有两种选法，根据分步计数原理，75600的正约数个数是：N＝5×4×3×2＝120．(2)正奇数中不含有2的因数，所以要确定75600的一个正奇数只需要分三步，即分别对j、k、l在各自的范围内任取一个数字．根据分步计数原理，75600的正奇约数的个数是N＝4×3×2＝24．答：75600有120个正约数，24个正奇约数．练

8、习:1.某同学有若干本课外参考书，其中外语5本，数学6本，物理2本，化学3本，他欲带参考书到图书馆看书．(1)若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若外语、数学、物理和化学参考书各带一本，有多少种不同