量子力学第二次习题课

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1、量子力学习题课田莉莉第四章态和力学量的表象一、波函数的矩阵表示已知的本征态，则任一波函数可展开为用矩阵表示，就是由归一性可知二、算符的矩阵表示，其中是厄米算符，可以证明是厄米矩阵，即三、表象变换1，态的表象变换A表象中，B表象中，，则有2，力学量的表象变换四、狄拉克符号（，），第五章近似算法第四章1，将对角化解：设的本征函数为，本征值为，则对应的本征方程为久期方程即，得到当时，本征方程为，得到结合归一化方程解得，当时，同理可解得，则则,另解，略第五章微扰理论5.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为

2、、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：据题意知其中是不考虑这种效应的势能分布，为考虑这种效应后的势能分布由高斯定理可得于是时时又因为则类氢原子基态波函数为，为非简并态，则基态能量的一级修正为带入原积分式，得到5.2转动惯量为I、电偶极矩为的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。解：取的正方向为z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为取，则对应的本征函数为，基态为非简并态故该空间转子基态能量的一级修正为5.3设一体系未受微扰作用时有两个

3、能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得由已知条件可得∴能量的二级修正值为5.4设在时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为，及均为常量；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻跃迁到电离态的几率。解：①微扰其中对于受激吸收，，忽略第一项，得到于是将的表达式带入，得到时，氢原子处于基态，其波函数为在时刻，处于自由态则则②氢原子能级公式当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最

4、小这时，，得到5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。解：氢原子基态为2p态的波函数有在微扰（取方向为z轴方向）作用下，氢原子由基态跃迁到2p态的几率等于从跃迁到的几率之和，即先求得又则这里，经过长时间后，，则，所以所以长时间后，氢原子处于2P态的概率，5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则解：设线性谐振子的本证函数为则而由于则所以，只有当时，即选择定则为