线性代数及其应用

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1、第九章线性代数及其应用在科学研究和实际生产中，碰到的许多问题都可以直接或近似地表示成一些变量之间的线性关系，因此，线性关系的研究就显得是非常重要了.行列式与矩阵是研究线性关系的重要工具.本章将介绍行列式与矩阵的一些基本概念、性质和运算.§9.1行列式的概念与计算一、二阶、三阶行列式用消元法解二元线性方程组（9.1）当时，得，为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念.1．二阶行列式的定义定义1用个数组成的记号，表示数值，称为二阶行列式，称为行列式的元素，横排称行，竖排称列.利用二阶行列式的概念，当二元线性方程组（9.1）的系数组成的行列

2、式时，它的解可以用行列式表示为其中和是以分别替换系数行列式中第一列、第二列的元素所得到的两个二阶行列式.例1用行列式解线性方程组.51解因为，，.所以.类似地，用个数组成的记号，表示数值称为三阶行列式，即.它是由3行3列共9个元素构成，是6项代数和.这9个元素排成3行3列，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.上式也可以用对角线法则记忆，如图9.1所示.实线上三个元素的乘积取正号，虚线上三个元素的乘积取负号.取+号取-号图9.1例2计算三阶行列式.51解　原式＝　　　　　.例3　解不等式　.解　

3、因为，原不等式化为.故不等式的解集为.1.2阶行列式1．阶行列式的定义定义9.２由个数组成的一个算式，称为阶行列式，其中称为的第行第列的元素.当时，规定.阶行列式简记为.定义３　在阶行列式中去掉元素所在的第行和第列后，余下的阶行列式称为元素的余子式，记为.将叫做元素的代数余子式，记为，即有.设阶行列式已定义，则阶行列式.（9.2）例如，当时，51　　　.例4写出四阶行列式的元素的余子式和代数余子式.解，.形如下列形式的行列式分别称为阶对角行列式和阶下三角行列式，由（9.2）式可知，它们的值都是主对角线上元素的乘积.，.２.行列式的性

4、质根据阶行列式的定义直接计算行列式，当行列式的阶数较大时，一般是很麻烦的，为了简化阶行列式的计算，我们有必要讨论阶行列式的性质.如果把阶行列式中的行与列按顺序互换，得到一个新的行列式51，称为行列式的转置行列式.显然，也是的转置行列式.性质1行列式与它的转置行列式的值相等.即.例如，二阶行列式　　　，.显然，.对于阶行列式，可以用数学归纳法加以证明，这里略去.性质9.1.1说明，行列式中“行”与“列”的地位是相同的，所以凡是对行成立的性质，对列也同样成立.由性质9.1.1和阶下三角行列式的结论，可以得到阶上三角行列式的值等于它的主对

5、角线上元素的乘积，即.性质2阶行列式等于它的任意一行（或列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和，即，或　　　.（9.3）例5设三阶行列式，按第二行展开，并求其值.解因为，,51,所以.性质3互换行列式的其中两行（或列）位置，行列式值改变符号.例如，二阶行列式，交换两行后得到的行列式　　　.推论如果行列式其中有两行（或列）完全相同，那么行列式的值为零.事实上．交换相同的两行，由性质2得，，于是.性质4行列式某一行（或列）的公因子可以提到行列式记号的外面，即.推论1　如果行列式中有一行（或列）的元素全为零，那么此行列式的值为零.　推论

6、2　如果行列式其中有两行（或列）元素对应成比例，那么行列式等于零.推论3　行列式中任意一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.例如，对于行列式，有,性质5如果行列式的某一行（或列）元素可以写成两数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和，即51.　例如，二阶行列式.性质6把行列式某一行（或列）的元素同乘以数k，加到另一行（或列）对应的元素上去，行列式的值不变，即证　设原行列式为，变形后得到的行列式为，由性质9.1.5和性质9.1.4的推论３得，.为了便于书写，在行列式计算过程中约定采用下列标记法：（

7、1）用代表行，代表列.（2）第行和第行互换，记为，第列和第列互换，记为.（3）把第行（或第列）的元素同乘以数k，加到第行（或第列）对应的元素上去，记为（或）.（4）行列式的第行（或第列）中所有元素都乘以，记为（或）.51行列式的基本计算方法之一是根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为上（或下）三角行列式，由前面的结论可知，这时行列式的值就是主对角线上元素的乘积.这种行列式的计算方法称为“化三角形法”.例6计算.　解　　.计算行列式的另一种基本方法是选择零元素最多的行（或列）展开；也可以先利用性质把某一行（或列）的元素化为仅

8、有一个非零元素，再按这一行（或列）展开.这种方法称为降阶法.例7计算51解例8证明证　设此行列式为，将化简,把第一列乘以（－１）分别加到以后各列，有.例9计算n阶行列式解　从行列式的元素排列特点看，每一列个元素的和都相等，把第2，3，