平衡问题探骊

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1、专题3　平衡问题探骊文/沈　晨教你一手　　物体平衡的种类依稍微偏离平衡位置后是否能在原位置保持平衡而分为稳定平衡与不稳定平衡，能在随机位置保持平衡的则称随遇平衡．控制物体的不同平衡态势，增大物体平衡的稳度是有趣又有实际意义的事．怎样甄别物体平衡的种类呢?以处于重力场的物体在重力和支持力作用下的平衡为例，一般操作步骤是：１．设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍偏离原平衡位置；２．从能量角度考察受扰动后物体质心位置的高度变化，根据质心是升高、降低还是不变来判断物体原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量，即重力对扰动

2、后新支点的力臂，从而判断物体原来的平衡态属于哪一种．这里，仅是问题切入的视角不同，但殊途同归，结论是一致的，故可依问题的具体情况，择简而从；３．为比较扰动前后物体的受力与态势，要做出直观明晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节”的描述，故常需运用合理的近似这一数学处理手段．例1如图3-１所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为ａ、ｂ，且长轴的长度为ｌ，蛋圆的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立．求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立时，碗的半径ｒ需满足的条件．图3-1分析与解因蛋圆一端在水平面上可处于稳定平衡态，可知蛋的质心位置C应在图3-１中A点

3、之下，设其距蛋尖顶点为R，则Ｒ＞ｌ－ａ．现将蛋尖端直立于半径为ｒ的球形碗底M点处，如图3-２中实线所示，设想当蛋尖外缘沿碗偏转过一小段弧长14，则蛋在图3-２中虚线所示位置．该图中，C为蛋的质心，偏转后的质心位置在Ｃ′，Ｏ为碗球心，α、β分别是弧长所对蛋尖圆和碗球的圆心角，即＝ｒβ＝ｂα，其他几何关系如图所示．图3-2解法一考察质心位置高低变化要满足蛋尖端在球形碗内有稳定平衡，应证明图3-2中的Ｃ′位置高于C位置，即需满足Ｃ′Ｍ′ｃｏｓ（α－β）＋ＮＭ(α－β/２)＞ＣＭ，在微扰的情况下，α、β都是小量，故有如下很好的近似Ｒｃｏｓ（α－β）＋ｒ

4、β(α－β/２)＞Ｒ，即ｒβ(α－β/２)＞Ｒ［１－ｃｏｓ（α－β）］＝２Ｒｓｉｎ2(α－β/２)．利用小角度的情况下，ｓｉｎα≈α，ｓｉｎβ≈β，且注意到ｒβ＝ｂα，则有ｒβ(α－β/２)＞２Ｒ（(α－β)/２）2，整理得ｒ＜(ｂＲ/Ｒ－ｂ)．由题给条件知Ｒ＞ｌ－ａ，故有ｒ＜(ｂＲ/Ｒ－ｂ)＝(ｂ/１－(ｂ/Ｒ))＜(ｂ/１－(ｂ/ｌ－ａ))＝ｂ（ｌ－ａ）/(ｌ－ａ－ｂ)．这就是说，碗的球半径尺寸不能太大，应满足条件为ｒ＜ｂ（ｌ－ａ）/(ｌ－ａ－ｂ)．解法二考察质心位置侧移量欲满足蛋保持稳定平衡的条件，重力对支持点N的力矩应可使蛋返回

5、原处，故应有Ｃ′Ｍ′ｓｉｎ（α－β）＜ＭＮ，即R（α－β）＜ｒβ．将Ｒ＞ｌ－ａ，ｒβ＝ｂα代入上式整理即得ｒ＜(ｂ（ｌ－ａ）/ｌ－ａ－ｂ)．14例2如图3-３所示，杆长ｌ＝ａ＋ｂ，质心在Ｃ点，杆的Ａ、Ｂ两端分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡．试问在图示位置时，此杆的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡?并证明之．图3-3分析与解杆AB受两斜面支持力及重力这三个不共点的力作用，我们常称之为“三力杆”．非平行力作用下的“三力杆”要处于平衡，三力作用线必汇交，在图3-３中，三力交汇点O与杆AB的质心C连线是竖直的．我们来研究一下

6、杆平衡时的几何位置有什么特点：设右斜面与水平成α角，杆与右斜面成φ0角，在图3-３的△ＢＯＣ中，根据正弦定理有(ｂ/sinα)＝(（ａ＋ｂ）sinφ0/sin（φ0＋９０°－α）)，由此式求得杆平衡时与右斜面夹角满足ｔａｎφ0＝(ｂｃｏｓα/ａsinα)．下面来证明这根“偏心杆”在此位置的平衡是不稳定平衡．证法一考察质心位置高低．如图3-４所示，当杆与斜面夹角为φ时，质心C的高度以ｙ表示，则ｙ＝（ａ＋ｂ）ｃｏｓφｓｉｎα－ｂｓｉｎ（α－φ）＝ａｓｉｎαｃｏｓα＋ｂｃｏｓαｓｉｎφ＝cos[φ－arctan(ｂcosα/ａsinα)]．即ｙ＝ｃｏｓ（φ－φ0

7、），显见，当φ＝φ0时，杆质心C的高度有最大值ｙ＝，杆的位置稍有偏离，质心高度就降低，故属于不稳定平衡．14图3-4证法二考察质心对杆的瞬时转动中心的侧移量．如图3-5所示，当杆的两端沿斜面移动时，整根杆的转动中心也在变化．φ＝φ0时，O为杆的瞬时转动中心，重力作用线过O点，力矩为零；当杆转过一小角度，φ＝φ1时，转动中心变成O′，质心位置为C′，比较O′和C′在x轴上投影坐标ｘ与ｘ′之大小，从而确定重力对O′的力矩对杆的作用效果．图3-5由图3-５所示关系得ｘ＝（ａ＋ｂ）ｃｏｓ（φ1＋α）；