微积分论文_高等数学论文[1]

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1、微积分论文高等数学论文浅谈微积分中的反例　　摘要：本文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。　　Abstract：ThisarticlelistsCalculuscommontypicalcounter-examplesanddiscussestheroleofcounter-examplesinCalculusTeaching.Ontheonehand，theco

2、unter-examplescanstrengthentheconceptandrevealconnotationoftheconcept，itmakestudentexactlygrasptherelationshipbetweentheconcepts，thoroughlyunderstandtheconditionsoftheorem.Ontheotherhandittrainsstudentsreversethinking，whatismoreithelpstodevelopthemathskillsofstudents.　　

3、关键词：反例；微积分；函数；微分；积分　　Keywords：counter-examples;Calculus;function;Differential;Integral　　　　0引言　　用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。在微积分中存在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，除了它能帮助学生深

4、入地理解有关数学对象性质之外，还促进了学生的辨证思维方式的形成。　　1连续、可导、可微问题　　微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。　　情形1若函数f（x）在a连续，则函数f（x）在a也连续，但其逆命题不成立。　　反例：函数　　f（x）=1，x?叟0-1，x<0，　　虽然f（x）=1在x=0处连续，但f（x）在x=0处不连续。　　情形2可导函数必定是连续函数。那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。　

5、　反例：函数f（x）=x+1，在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，f（x）=x+1=1=f（0），所以f（x）在x=0连续；但极限==1或-1不相等，所以f（x）在x=0不可导。　　情形3函数f（x）在x=x0处可导，则函数f（x）在x=x0的邻域内不一定连续。　　反例：函数　　f（x）=x，x为有理数0，x为无理数，　　在x=0处可导，但在0点的任何邻域，除0点外都不连续。　　情形4f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0处是否有连续导数？　　反例：函数f（x）=xcosx≠00x=0在x=0处可导，但导数不连续。　　事实

6、上，f′（0）===xcos=0，即f（x）在x=0处可导，但当x≠0时，f′（x）=2xcos-xsin•-=2xcos+sin　　极限f′（x）=2xcos-xsin•-=2xcos+sin不存在，即f（x）的导数不连续。　　综上归结，对一元函数f（x）在点x0可有：可微?圳可导连续　　有极限。通过恰当的反例可以快捷而准确地把握它们之间所存在的关系。　　情形5当f（x0）≠0时，由f（x）在x0可导不一定能推出f（x）在x0可导。　　反例：函数f（x）=x，x∈[0，1]-x，x∈[1，2]，而f（x）=x，x∈[0，2]，显然f

7、（x）在x0=1处可导，但f（x）在x0=1处不可导。　　情形6下面命题是否成立：若f（x）在（a，b）内可导，则在（a，b）内必定存在ξ，使得f′（ξ）=？　　事实上，举出这样的反例：f（x）=x，0　　2可积问题　　情形7若函数f（x）在区间[a，b]上可积，则函数f（x）在区间[a，b]上也可积，且f（x）dx?燮f（x）dx，但其逆命题不成立，即当函数f（x）在区间[a，b]上可积时，函数f（x）在区间[a，b]上不一定可积。　　反例：函数　　f（x）=1，x为有理数-1，x为无理数　　函数在[0，1]上不可积，而f（x）≡1

8、，这是常函数，显然在[0，1]上可积。　　3无穷大量与无界量问题　　情形8无穷大量是无界量，但无界量不一定是无穷大量。　　反例：f（x）=xcosx当x→∞时f（x）为无界量。事实上，对无论多大的G>0，总存在x=nπ，