微积分论文_高等数学论文（精）

《微积分论文_高等数学论文（精）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、微积分论文高等数学论文浅谈微积分中的反例摘要：本文列举了微积分屮常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。关键词：反例；微积分；函数；微分；积分0引言用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。在微积分中存

2、在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外，还促进了学生的辨证思维方式的形成。1连续、可导、可微问题微积分中对于无穷大与无界、极大（小）值与最大（小）值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。情形1若函数f（X）在a连续，则函数f（X）在a也连续，但其逆命题不成立。反例：函数f(x)=1,x?叟0-1,xvO,虽然f(x)=1在x=0处连续，但f(x)在x=0处不连续。情形2可导函数必定是连续函数。那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。反例：函数f(x)=

3、x+l,在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，f(x)=x+l=l=f(0),所以f(x)在x=0连续;但极限二二1或-1不相等，所以f(x)在x=0不可导。情形3函数f(x)在x=xO处可导，则函数f(x)在x=xO的邻域内不一定连续。反例：函数f(x)=x,x为有理数0,x为无理数，在x=0处可导，但在0点的任何邻域，除0点外都不连续。情形4f(x)在x=xO处可导，则f(x)在x=xO处是否有连续导数？反例：函数f(x)=xcosxH00x=0在x=0处可导，但导数不连续。事实上，f‘(0)===xcos=0,即f(x)在x=0处可导，但当xH0时，ff(x)=2xcos-xs

4、in•-=2xcos+sin极限f‘(x)=2xcos-xsin•-=2xcos+sin不存在，即f(x)的导数不连续。综上归结，对一元函数f(x)在点xO可有：可微?圳可导连续有极限。通过恰当的反例可以快捷而准确地把握它们之间所存在的关系。情形5当f(xO)HO时，由f(x)在xO可导不一定能推出f(x)在xO可导。反例：函数f(x)=x,xW［0,l］-x,xW［l,2］,而f(x)=x,x丘［0,2］,显然f(x)在xO=l处可导，但f(x)在x0=l处不可导。情形6下面命题是否成立：若f(x)在(a,b)内可导，则在(a,b)内必定存在g,使得f‘(U=?事实上，举岀这样的反例

5、：f(x)=x,02可积问题情形7若函数f(x)在区间［a,b］上可积，则函数f(x)在区间［a,b］上也可积，且f(x)dx?燮f(x)dx,但其逆命题不成立，即当函数f(x)在区间［a,b］上可积时，函数f(x)在区间［a,b］上不一定可积。反例：函数f(x)=bx为有理数x为无理数函数在［0,1］上不可积，而f(x)三1,这是常函数，显然在［0,1］上可积。3无穷大量与无界量问题情形8无穷大量是无界量，但无界量不一定是无穷大量。反例：f（x）=XCOSX当X—吋f（X）为无界量。事实上，对无论多大的G>0,总存在x=nn,当n>时，有f（x）=nncosnn二nn>G然而，当x—

6、00吋，若取x二nn+此吋f（x）=nn+cosnn+=0。即f（x）并不趋于a。4函数的极大（小）值与最大（小）值问题情形9⑷可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点。反例：x=0是函数f（x）=x3的驻点，但不是其极值点。情形10函数f（x）的极大（小）值不一定就是最大（小）值。反例:函数f（x）=x-4x+3x+l,xE［-l,3］,由于f‘（x）=4x-8x+3=4（x-1）-1,易见X二或X二为f（X）的稳定点，列表如下：由上表可知：点为f（X）的极大值点，极人值为；点X二为f（X）的极小值点，极小值为1。但函数f（X）在点x=3取得最大值为6,在点x=-

7、l取得最小值为上述归结，若函数f（X）在闭区间［a,b］上连续，则f（x）在［a,b］上一定有最大、最小值。若函数f（x）的最大（小）值点x0在区间内，则x0必定是f（x）的极大（小）值点。但f（x）的最大（小）值也可能在区间端点处取得，则f（x）的极大（小）值不一定就是放大（小）值，要通过比较才能确定。5结语微积分屮的反例有助于提高学生的数学逻辑思维能力，突出数学所表达的逆向思维以及体现了数学的严谨性•透彻理解命题、定理条件的充分性及必要性，