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1、—论文发表专家一中国学术期刊网.qikanwang.net微积分论文高等数学论文浅谈微积分中的反例摘要：本文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。Abstract:ThisarticlelistsCalculuscommontypicalcounter-examplesanddiscussestheroleofcounter-examplesinCalculusTeaching.Ontheoneha
2、nd,thecounter-examplescanstrengthentheconceptandrevealconnotationoftheconcept,itmakestudentexactlygrasptherelationshipbetweentheconcepts,thoroughlyunderstandtheconditionsoftheorem.Ontheotherhandittrainsstudentsreversethinking,whatismoreithelpstodevelopthemathskillsofstudents.关键词：反例；微积分；
3、函数；微分；积分Keywords:counter-examples;Calculus;function;Differential;Integral0引言用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。在微积分中存在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外，还促进了学生的辨证思维方式的形成。1连续、
4、可导、可微问题微积分屮对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。情形1若函数f(x)在a连续，则函数f(x)在a也连续，但其逆命题不成立。反例：函数f(x)=1,x?叟0-1,xvO,虽然f(x)二1在x=0处连续，但f(x)在x=0处不连续。情形2可导函数必定是连续函数。那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。反例：函数f(x)=x+l,在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，f(x)=x+l=l=f(0),所以f(x)在x=0连续;但极限==
5、1或-1不相等，所以f(x)在x=0不可导。情形3函数f(x)在x=xO处可导,则函数f(x)在x=xO的邻域内不一淀连续。反例：函数f(x)=x,x为有理数0,x为无理数，在x=0处可导，但在0点的任何邻域，除0点外都不连续。情形4f(x)在x=x0处可导，则f(x)在x=x0处是否有连续导数？反例：函数f(x)二xcosxH00x=0在x=0处可导，但导数不连续。事实上，f‘(0)===xcos=0,即f(x)在x=0处可导，但当xH0时，f‘(x)=2xcos-xsin•-=2xcos+sin极限f‘(x)=2xcos-xsin•-=2xcos+sin不存在，即
6、f(x)的导数不连续。综上归结，对一元函数f(x)在点xO可有：可微?圳可导连续有极限。通过恰当的反例可以快捷而准确地把握它们之间所存在的关系。情形5当f(x0)H0时，由f(x)在x0可导不一定能推出f(x)在x0可导。反例：函数f(x)=x,xW[0,l]-x,xW[l,2],而f(x)=x,xW[0,2],显然f(x)在x0=l处可导，但f(x)在x0=l处不可导。情形6下面命题是否成立：若f(x)在(a,b)内可导，则在(a,b)内必定存在g,使得f‘(U=?事实上，举岀这样的反例：f(x)=x,02可积问题情形7若函数f(x)在区间［a,b］上可积，则函数f
7、(x)在区间［a,b］上也可积，且f(x)dx?燮f(x)dx,但其逆命题不成立，即当函数f(x)在区间［a,b］上可积时，函数f(x)在区间［a,b］上不一定可积。反例：函数f(X)=1,X为有理数X为无理数函数在［0,1］上不可积，而f(x)三1,这是常函数，显然在［0,1］上可积。3无穷大量与无界量问题情形8无穷大量是无界量，但无界量不一定是无穷大量。反例：f(x)=XCOSX当Xf00时f(X)为无界量。事实上，对无论多大的G>0,总存在x=nn,当n>时，有f(x)=nncosnn二nn>G然而，当x—8时，若取x二nn+此时f(x)=n肌
