2001aime美国数学邀请赛

《2001aime美国数学邀请赛》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2001AIME11、求所有这样的两位数之和，它们满足能被其中任意数码整除.2、不同实数的有限集满足如下性质：的平均数比的平均数小13，且的平均数比的平均数大27，求的平均数.3、找出方程的所有根，包括实根与虚根，假定方程没有复根.4、在中，.的角平分线交于点，且.的面积可以写成，其中都是正整数，且不能被任何素数的平方整除.求.5、椭圆中内接一等边三角形，它的一个顶点坐标是，一个高在轴上，且每条边的长可写成，其中是互质的正整数.求.6、掷筛子四次，后三次的点数总不比前面的点数小的概率可以表示为，其中是互质的正整数.

2、求.7、在中，和.点和点分别在与,使得平行于且通过的内心.此时，其中是互质的正整数.求.8、如果一个十进制数在七进制下的结果是的2倍，就把它叫做7-10双倍数.例如51是7-10双倍数，因为它在七进制下的结果是102.求最大的7-10双倍数.9、在中，和.点、点和点分别在、和.设和，其中都是正数，且满足，.与的面积之比可以写成的形式，其中是互质的正整数.求.10、设点集的坐标都是整数且满足.从中随机抽取两个不同点，则二者的中点仍在中的概率为，其中是互质的正整数.求.11、在点阵中，这些点从左到右、从上到下依次编号(

3、如第一行的序号是从1到，第二行的序号是从到，等等).从第行中任意抽取一点，这样我们选择了5个点和.设对应数.现在从第一列开始重新对点进行从左到右的编序，这时设对应数是.我们发现规律且.求的最小可能值.12、一个球内切于顶点分别是和的四面体.球的半径是，其中是互质的正整数.求.13、在某个特定的圆中，角度为d的弧对应的弦长是22厘米，角度为2d的弧对应的弦长比角度为3d的弧对应的弦长大20厘米，其中.角度为3d的弧对应的弦长可以表示为厘米，其中是互质的正整数.求.14、邮递员要给街道上的19个房子送邮件.他发现没有两

4、个相邻的房子在同一天都收到邮件，且连续多于两个的房子必定会有一个房子收到邮件.求有多少种可能邮递的方法?15、数1,2,3,4,5,6,7和8随机的写在正八面体的8个面上，使得每个面上的数都不相同.则不相邻的两数共用一个边的概率是，其中是互质的正整数.求.答案1、答案630用表示满足题目条件性质的十位数，表示个位数，故，推出.前一个条件成立须满足，其中是某一正整数.后一条件暗含着.因此满足条件的两位数是11，22，33，...，90，12，24，36，48和15.求和结果为.2、答案651设含有个元素的集合的平均值

5、是.故和即：和.二者相减得，故.因此.1、答案500应用二项式定理根据根的和的公式得到.2、答案291注意到角与角都是，因此。作三角形的高.故三角形的各角为，三角形的各角..故三角形的面.3、答案937设三角形的另外两个顶点分别是、，其中.通过和的直线与轴成，且斜率是.因此，直线的方程是.把方程式代入椭圆的方程式中，化简得到或者.三角形的边是，故.1、答案079掷4次筛子后出现的每种可能性的概率是.考虑掷四次筛子出现的数值，只有一种满足题目要求.故我们只需计算掷筛子4次出现的数值的所有集合，允许出现相同数值的情况.

6、这就等价于求把4个小球放进6个带有标签的盒子中(从1到6)的方法数，即.因此满足条件的概率是，故7、答案923假设是三角形的内心，因此分别平分角.因为平行于，故，故.因此，三角形的周长是.三角形相似于三角形，相似比就等于周长之比，故.把数值代入上式，得，故.8、答案315假设是一个7-10双倍数，其中.换句话说是上式的2倍.因此.因为在上式中只有当时，的系数为负，其它的都不为负，故至少为2.当时，的系数至少是314，又因为总不超过6，故.为了得到最大的7-10双倍数，尝试当.从方程中得到使的最大值的解.因此最大的7

7、-10双倍数是.8、答案061用代表三角形的面积.因为都比1小，故.又因为故比率是，所以.9、答案200因为共有个点可供选择，故有种选择两点的不同方式.为了使选择的两点决定的中点也是一个格点(如果中的点的坐标都是整数，就称它们是格点)，我们只需证明两点的坐标具有相同的奇偶性.注意到个点的坐标全为偶数个点的坐标全为奇数个点，只有坐标为奇数个点，只有坐标为奇数个点，只有坐标为奇数个点，只有坐标为偶数个点，只有坐标为偶数个点，只有坐标为偶数，故满足题目条件的线段共有，因此要求概率是.故.8、答案200设在第行第列.故，，

8、又因为的选择满足题目中的规律，故用前两个等式消去，得到.故,其中.接着用剩下的不等式消去和，得到.对进行替换，得，故.换句话说，对某个正整数，，即.因此，故的最小值是2，因此的最小可能值是6，故.我们不难检验是这些点可能的分布值.因此这些点对应的数值分别是.评注：利用模算术可以简化题目的解答.12、答案005设是内接球的半径.因为四面体可以被分割成四个小四面