数分选讲讲稿第11讲

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1、讲授内容备注第十一讲二、Lagrange中值定理1、利用几何意义（弦线法）由Lagrange中值定理知：若在上连续，在内可导．则，介于之间，使得．即使说：曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行．例1设是可微函数，导函数严格单调增．若，．试证：对一切，有．（不得直接利用凸函数的性质）．证　，在，上应用Lagrange中值定理，，使得，．因为严格单调增，所以．即．由，解上式得．例2设函数在闭区间上连续，在开区间内可导．又不是线性函数，且．试证：，使得　　　　．　　证　过点的线性函数为．3学时复习Lagr

2、ange中值定理的内容10因为不是线性函数，所以(1)即证，使得．（按弦线法，要找曲线的一根弦，其斜率大于零）由已知条件知，在上连续，在内可微，且．满足Lagrange中值定理的条件．由(1)知，使得．当时，在上应用Lagrange中值定理，使得．当时，在上应用Lagrange中值定理，使得．2、利用有限增量公式导出新的中值公式借助不同的辅助函数，可由有限增量公式介于之间导出新的中值公式．例3设在上连续，在内有二阶导数．试证：，使得　　　．(1)证　　　　　　10　　作辅助函数　　　则　　　　　　　　　　

3、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（其中）例4设　，试证：，使得．(1)证　将(1)变形　　　令，　　则在上满足Lagrange中值定理的条件，，使得即　　　　　　　　．因为，，所以令，则即　　　　　　　　．10例5（导数极限定理）设在点的某邻域内连续在内可导，且存在，则在点可导，且．证　任取，在上满足Lagrange中值定理的条件，，使得　　　　由于，因此当时，有，对两边取极限．即．同理可证．因为存在，所以，从而=，即．3、作为函数的变形若在上连续，在内可微，则在上

4、　　　　　　　介于之间．作为的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，可用来研究函数的性质．（Taylor公式的0次项）例6设在上可微，且．并有实数使得，在上成立，试证明：在上，.证I因为在上可微，且，所以由Lagrange中值定理知10，当限制时，则得．重复使用此式可得其中　．由的连续性，，对，有故　　　　　　　　　　　　从而　　　　　　　　　　．用数学归纳法，可证在一切　上，恒有．所以　，．证II　因为在上连续，所以，使得．于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以，，．以下同证I．注　将改为，将改

5、为可得同样结论．10例7　设，在上连续，在内可微，且．若有实数，使得成立．试证：　　．证因为在上连续，所以，使得　　　　　　　　　　　　　．若，则，．由例6知，　　．若，有三角不等式由例6知，　　．　　例8　设在上，．在内取最大值．试证：．证　设在出取最大值，则．将在，上应用Lagrange中值定理，得10．两式相加得　　．例9证明：若函数在内可微，且，则．证要证，即要证：，，当时，有　．　　　(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知，对上述，当时，有　．　　　(2)由Lagrange中值定理，对，

6、，使得．故．但时，　，　当时，　　于是取，则当时，．　　三、导数的两大特性　　　　　导数无第一类间断点；　　导数具有介值性．　　1、导数无第一类间断点例10设函数在内处处有导数．证明：10中的点或者为的连续点，或者为的第二类间断点．　　证因为在内处处可导，所以，有　　　　　　　　　　　　　　　　　若在处有右极限时，必有　　　　　　　　　（导数右连续）同理可证，若在处有左极限时，必有　　　　　　　　　　　　　　（导数左连续）因此，在在内任一点处，除非至少有一侧无极限（这时为的第二类间断点．）否则，两侧的极限

7、都存在，且．则在处连续．注　所谓导数无第一类间断点，是指在导数处处存在的前提下讲的．如，当时，　　　　　　当时，在处，为的第一类间断点，这与我们的结论不矛盾，因为在处不可导．例11设在内可导，导函数在内单调，则在内连续．证因为在内单调，若有间断点必为第一类间断点，矛盾．10故在内连续．2、导数的介值性例12若函数在上处处可导（端点指单侧导数）．．则　　，，使得．证　作辅助函数　　　　则在上可导，　　　　　　　　　　　（若连续，则由连续函数的介值定理，直接推得结论．而现在不知是否连续）由于所以当，充分接近时

8、，有．同理，，当，充分接近时，有．故在端点，处不取最小值．但连续且可导，在闭区间上有最小值，必在开区间内某点取得．　　，使得．亦为的极小值．由Fermat定理知，必有．即，例13设函数在区间上二次可微，且有界．试证明：，使得．证明　若变号，，使得10．则　　或　．由导数的介值性，介于之间，使得　　　　　　　　　　　．　　下证不会不变号．假设不变号．不妨设．则严格递增．取，使．若，则当时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　若