管窥中国古代数学史

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1、管窥中国古代数学史俞建青PB03001034“如果要想预见祖国数学的未来，就得站在历史的高度，用历史的眼光来研究和了解中国古代数学的发展！”本文按时间顺序，把中国古代数学发展史分为五个时期，拣每一时期中最耀眼的部分加以评述，并分析了中国古代数学之所以出现宋元时代的发展高潮，而又逐渐衰落的原因，并从中得到一些对当今科学发展有利的启示。我国具有悠久而光辉的历史，在科学领域里曾经创造了高度的文明，对人类发展作出过极其辉煌的贡献。李约瑟说，“中国的古代科学技术史，绝对是一座金矿”。诚如高斯所言，“数学是科学的女皇”，而在我

2、国丰富多彩的科学技术历史宝库中，数学是一颗特别璀灿的明珠。我国古代数学对人类的贡献和影响是极其深远的，李约瑟在《中国科学技术史》这部巨著的第三卷中评价道，“奇怪的是，忠实于表意原则而不使用字母的文化（中华民族），反而发明了现代人类普遍使用的十进位制的最早形式，如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了”。当然，我国古代数学上的大成就，远不限于发明十进位制。出于我国古代数学家之手的重要成果颇丰，其中有不少是里程碑式的成就。例如：商高定理（勾股定理）、刘徽与祖冲之的圆周率近似值、祖日恒定理、僧一行

3、的二次不等距内插法、秦九韶的“大衍求一术”（中国剩余定理）、杨辉三角、李治的天元术、朱世杰的四元术和高阶等差级数等。详细介绍乃至深入研究以上各项成果的著作很多。我想，完全照搬研究者们的说法，已无益处。在此，只拣我所了解到的中国古代数学史上最耀眼的部分加以评述。为方便，首先把中国古代数学的发展史分成五个时期（与张老师的分法略有不同！）。然后按时间顺序，依次谈起：（一）上古到汉初（公元前2700-前100年）这一时期著名的典籍有《周髀算经》和《九章算术》。《周髀算经》之所以备受后世推崇，其原因有两个方面：一方面它是现存

4、最早的天文数学著作，总结了古代天文学中所应用的数学知识，有些内容在世界数学史上是最早，对后来数学产生过深远的影响；另一方面它在讨论天地现象时没有带任何迷信色彩，在占星术占统治地位的时期，这是一件相当了不起的事。《九章算术》是一部以按类分章形式编撰的数学问题集。其中的算式是从筹算记数法发展起来的，该书以算术、代数为主，内容涉及分数四则运算、解联立方程组、正负数运算等。《九章算术》中的“术曰”，给出简短的程序化算法；“答曰”给出答案，这种解题的风格似乎与今日正在兴起的计算机证明如出一炉，吴文俊先生的《计算机对初等几何的

5、机器证明》正汲取了中国古代数学的精华的一种算法思想。但是，我认为《九章算术》只“曰术”而“言证”，是它作为数学名著的明显不足，而这一点几乎是中国古代数学著作的通病。把一个具体实例解出来，也就不再说什么了。殊不知，蘑菇总是成堆生长的，止步于一般解法与理论的门槛下，岂不可惜！（二）汉初到宋初（公元前100-1000年）这一时期涌现出了几位非常著名的数学家：刘徽、祖冲之、祖暅、王孝通、僧一行。贡献最大者当首推刘徽和祖冲之父子。刘徽，公元3世纪，魏国人。他的主要成就有：1）．按照“析理以辞”，解析用图的精神，创造了“割补术

6、”，论证了立体图形的体积公式，又创造了利用模型的论证方法。刘徽是我国最早明确主张要用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，而正是这一点，对整个数学的发展极其重要。因为，数学首先应该是一门逻辑科学。2）．首创“割圆术”，并系统又严密地用内接正多边形的面积求得圆周率的近似值，他得出的圆周率为3.1416。“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”可见刘徽的割圆术求π，已经蕴含了极限与无穷小的思想。祖冲之，公元429-500年。他的主要贡献有：1）．求得π的近似值，在3.1415926和3.1

7、415927之间，并用分数来近似π为22/7（疏率），355/113（密率）。{一件有意思的事，去年在所学的数学实验课程中，曾对π的计算和寻找对π最佳分数逼近进行过讨论。其间，曾用Mathematica数学软件，模拟刘徽的“割圆术”，得到如下结果：正多边形的边数用面积算得的π用边长算得的π可见，要得到π的近似值在3.1415926和3.1415927之间，正多边形的边数至少要多于12888，可以想象祖冲之为此付出的劳动是多么巨大！此外，还惊奇地发现，分数22/7（疏率）和355/113（密率）是π最佳分数逼近。（所

8、谓最佳分数逼近是指，设α是无理数，P/Q是分数。如果P/Q作为α的近似值的误差比起分母不超过Q的所有其余的分数都小，也就是Q*Q

9、α-P/Q

10、

11、α-p/q

12、对所有1<=q<=Q成立，就称P/Q给出了α的最佳逼近。）模拟刘徽的“割圆术”及“分数对无理数π的最佳逼近”的源程序参见附录。}2）．祖冲之的著作《缀术》，是一部远比其它数学著作更负盛誉的名著。祖