北京工业大学2005年硕士研究生入学考试试题__数分_解答

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1、北京工业大学2005年硕士研究生入学考试数学分析试题www.9518duorenshipin.com一、（15分）设，且，试证明。证明：取实数使得，所以存在，当时，有，即有，递推得，令得。二、（15分）用语言证明若，，则。证明：因为由，得，存在，当时有，又，，所以对任意的，存在，当时有，，故当时有，即有www.17tongchengliao.com。三、（15分）设，为连续函数，试证明也为连续函数。其中表示取最大值。证明：，由，为连续函数，则5也连续，故连续。四、（15分）设在直线上可导，试证明当且仅当为一常数。证明：若，由微分中值定理对任

2、意的，存在之间的，使得，即，为一常数。若为一常数，记。，所以有。五、（15分）设在直线上连续，若对任意的，则有对所有的成立。证明：反证，若存在，由连续有，存在，使得当时，成立。于是，矛盾。六、（15分）设在非负连续，定义，证明一致收敛。www.shuyangyouxiwang.com证明：在非负连续，则在有界，即存在使得，则有，，假设，有，由归纳法知，。5所以有，又收敛，故由M-判别法，一致收敛。七、（15分）举例说明：存在收敛，但发散；若，上述现象是否发生？为什么？证明：，由交错级数的收敛性判别定理收敛，但发散。若，上述现象不会发生，因为

3、收敛，则，则而收敛，由比较判敛法的极限形式可知也收敛。八、（15分）设平面在三坐标上的截距为，这里，试求与三坐标面所围成的四面体的体积。解：平面的方程为平面，体积为，其中为为，，，所围的区域。。九、（15分）设在，上连续，试证明，这里表示取最大值，表示取最小值。证明：对任意，有，所以有，于是，因此。十、设，，为虚数单位。试证明（1）连续；（2）可导；（3）对任意，不存在使；5（4）从上述讨论中，你能得到什么结论？证明：对任意，所以即连续在处连续，由的任意性知连续。，所以，即可导。（3）反证，假设存在使，其中，则有，，两式平方后相加得，考虑函

4、数，当，或，显然有；又，，当，，所以，故；5当，，所以，故；综合上述有当，都有。因此不成立。矛盾。（4）复函数不成立微分中值定理。5