硕士研究生入学考试试题高代解答

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1、11…1兀］+1左+1…兀〃+1X；+兀］X；+兀2・••X；+兀”•••XJ+常2•••xr1+%r2••••••…+<2?,n>2考试科目：高等代数专业：数学院（所）各专业一.（20分）计算下列行列式二.（15分）设齐次线性方程组x2+ax3+bx4=0一兀

2、+ex,+dx.=0rJ134的一般解以xvx4为白变量。ax}+cx2_ex4=0bx}+dx2-ex3=0⑴求a.b.c.d.e满足的条件;三.<531、/⑴已知人=1-3-2,B=<-521><-211、⑵已知A=1-21,B=I—2,b12-8-5-2b=1,X二？a2/⑵

3、求齐次线性方程组的基础解系。（20分）39150、00丿，且矩阵方程AX=B有解，求。=?，四.（20分）设f（xI,x2,...,xn）=xzAX和g（y「y2,…，yj二y'by均为实数域上〃元二次型，且存在实数域上斤阶方阵C和£>使得A=D'BD,B=CZAC,证明：f（x1>x2,...,xn）和g（y】，y2,…,yj具有相同的规范形五.（20分）设P为数域.已知P°上两组向量组=（1,0,1,1）”2=（0,—1,1,2）巾=（1,-1,3,3）禺=（2-2,5,6）A=（u,i,i）仏=（1」，0,2）A=（i，o,0,3）A

4、=（321,6）试问是否存在P4上的线形变换A使A（aJ=几，i=1,2,3,4六.（20分）设V为数域Pkn维线形空间，A为V上线形变换.已知A3=A2但人工屮。试问是否存在V的一组基使A在这组基下的矩阵为对角矩阵？七.（20分）设A为n阶正定实对称矩阵，…,％,0为〃维欧式空间时（标准度量）中的”+1个向量.若已知（1）（XfH0（z=1,2,•••,〃）；⑵a-=0(i工j,i,j=1,2,…,n)；⑶0与e正交(d=1,2,证明：0=0八.（15分）设W为数域P上〃维线形空间（/2>1）.证明：必存在V中一个无穷的向量序列{at}二

5、使得他蔦中任何n个向量都是V的一组基.《高等代数》解答一・解从最后一行开始每行减去前一行的旺倍，得11…1+1兀2+1…£+1Xy+兀]+X9…Xn+•••对T+矿2•••h+%r2••••••...兀"一+严1i•••0%2-X]…£0(x2--州x2+X,)…(£7(兀2-xi)(x2~2+x2~3)~x)(£+xJ-(兀2_XXX3_兀1)…(兀“_…（心-

6、(<2+<111…1x2+1兀3+1…£+1)兀2+兀2兀3+兀3…兀+兀•••于+兀;L3••••••兀厂+兀厂...•••<-2+<-3（兀2-坷）（勺-兀二解（1）由

7、自由变量数为2,可知，方程组系数矩阵的秩为2_01ab''10-c-d-10c0d的秩为2,乂系数矩阵变形为01abac-eac0-ebd-e0_bd-e0即通过初等变换得到10000100-c-db00即0-a(-c)-ac=0y-e-a(-d)-cb=0，也即e=be-ad⑵）结合上面的讨论，易知基础解系为2a32=a31+a33三.解5a(+(a(+d1)+(-5)(a1+2d,)=-83a]+(—3)(a)+d〔)+

8、2(a】+2d))=3不妨令aH=apa12+dpa13X=(X

9、X2)显然AX

10、(-2111、r-211、1-212与1-21<11一2a丿<1IF有相<-2110P001+2+a、同的秩，也即1-212经过变形得到的矩阵1-212i11-2aA1-2a‘//有l+2+a=0，得a二-3同理，AX-,=t）2中有2+a+b==0,即b=l,(1、fa中对AX】二S中有,展础解系对AX2=b2有基础解系S有解,即3231综上，XA32匕3k,4k28k2~Tk2解得a】=1,d.1同理a2=4,d2=1,=7,=1<123、即乂=456

11、J89丿⑵将AX=：B看成两个方程组AX,=b,和AX?二b?，其«

12、«B=(b,b2),则有矩阵乘法法则，知四.证由于乘积的秩不超过各因子的秩，以及A=DZBD,B=CZAC得,r（A）＜r（B），及r（B）＜r（A）,从而r（A）=r（B）,EnE.pq-E、-En『一pr—q0••M,B=NZ0■■•_0•0不妨设A=MZN,则由A=D'BD,B=CZAC,得,若qHp不妨设p

13、2Ql3Q23Q33Q43Q.4Q24Q.4Q44Qii为pxp,02为(q-p)x(q-p),Q33为(r-q)x(r-q)则有Ep二QnEpQ",Eq_p=Q2,-Eq・p)