2006_高代上试卷及解答(华农).ppt

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1、2006学年第1学期《高等代数》（上）一、填空题（每小题2分，共14分）1、能被任一多项式整除的多项式是；零多项式能整除任意多项式的多项式是.零次多项式2、用除所得商余式3、设行列式，则04、若矩阵A中有一个级子式不为零，则5、已知向量组线性相关，则参数6、设A为三阶方阵，为A的伴随矩阵，且有则7、实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为类。对秩正惯性指数可取个值。而可取0至3等4个值。于是共有分类：8、实二次型的矩阵为，秩为，二、判断题（每题2分，共12分,对的打√，错的打×）1、（）多项式在有理数域Q上不可约；√是三次多项式且没有有理根，故它在有理数域Q上不可约；2、（）不可约多项式是的重

2、因式的充要条件是是的重因式；×3、（）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；√4、（）如果向量组线性相关，则下列向量组也线性相关；×5、（）方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解。×6、（）设A、B为n阶方阵，若存在n阶方阵C，使，则A与B合同。×三、选择题（每题2分，共12分）1、()若方阵A的行列式

3、A

4、=0，则(A)方阵A的行向量组线性相关，而列向量组线性无关；(B)方阵A的列向量组线性相关，而行向量组线性无关；(C)方阵A的行列向量组均线性无关；(D)方阵A的行列向量组均线性相关。D2、（　）若A是矩阵，B是矩阵，则(A)当时，必有行列式(B)当时，必有行列式(C)当时，必有行列

5、式(D)当时，必有行列式BAB是m阶方阵，又3、（　）设A、B均为n阶非零矩阵，满足则A、B必有（A）（B）（C）（D）C4、（）设A为m行n列矩阵，且非齐次线性方程组（A）R(A)

6、A可逆,且试求A的伴随矩阵的逆矩阵。（7分）解：3、化二次型为标准型,并写出相应的非退化线性替换。（7分）解：二次型的矩阵：3、化二次型为标准型,并写出相应的非退化线性替换。解：二次型的矩阵：解：二次型的矩阵：令作非退化线性替换，则二型化为标准形：4、讨论取何值时，线性方程组无解、无穷多解？在有无穷多解的情况下，求用基础解系解：当，方程组无解，当，方程组有无穷多解，这时同解方程组为表示的通解（9分）故方程组的通解为：任意令，得方程组的一个特解令，得方程组的导出组的一个基础解系：这时同解方程组为方程组的通解：任意方法二：这时同解方程组为即任意其中，......五、证明题（每题8分，共32分）

7、1、证明：若则证明：由题设，有将（1）（2）两式相乘，得所以五、证明题（每题8分，共32分）1、证明：若则证法二：若则有不可约多项式是与的公因式因又而与矛盾，故2、已知线性无关，证明：也线性无关。证明：设因为线性无关，所以也线性无关。3、设A是正定矩阵，证明也都是正定矩阵。证明：因为A是正定矩阵，所以A是实对称矩阵，且有可逆矩阵C，使因所以A-1是实对称矩阵，又所以A-1是正定矩阵。又A是正定矩阵所以因，即A*是实对称矩阵，所以A*也是正定矩阵。3、设A是正定矩阵，证明也都是正定矩阵。证法二：因为A是正定矩阵，所以二次型是正定的，作非退化线性变换所以是正定的从而是正定的。因，即A*是实对称

8、矩阵，二次型所以是正定的从而是正定的。3、设A是正定矩阵，证明也都是正定矩阵。证法三：因为A是正定矩阵，所以二次型是正定的，作非退化线性变换因为非退化线性变换不改变二次型的正定性，所以是正定的从而是正定的。所以A*是正定矩阵。又A是正定矩阵故有因，即A*是实对称矩阵，而A-1正定故其顺序主子式均大于零，于是A*的顺序主子式也均大于零，直接由A正定说大于零是不方便的A*的顺序主子式4、设A为矩阵，B为矩阵，若AB=0，试证证明：设由即是齐次线性方程组的解，而方程组AX=0的基础解系含个解向量，所以即一、判别题（2×5=10分）2008高等代数（上）期末考试A卷解答1、（）若，那么并且×2、（

9、）设非零的矩阵A的行列式为零，则A中至少有一行（列）元素全为零或至少有两行（列）元素对应成比例关系。×3、（）设A是2008级方阵，其秩为2006，A*是A的伴随矩阵，那么A*=0。√一、判别题（2×5=10分）4、（）两组向量等价并且所含的向量个数相同，√5、（）若实对称矩阵合同于一个单位矩阵，则它是√则它们有相同的相关性。正定的。二、填空题（3×5=10分）6、如果，那么二、填空题（3×5=10分）7、如果，则8、设