数学填空题的常用解法

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1、福建省邵武第一中学guanyoyo@126.com第2讲高考填空题的常用方法数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题.这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现.因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.数学填空题，绝大多数是计算型(尤其

2、是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。例1设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m=。解：∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。例2已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是。解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。例3现时盛行的足

3、球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为。10福建省邵武第一中学guanyoyo@126.com解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。例4在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则。解：特殊化：令，则△ABC为直角

4、三角形，，从而所求值为。例5过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则。分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。解：设k=0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。例6求值。分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可

5、以简捷地解决问题，得出正确的结果。10福建省邵武第一中学guanyoyo@126.com例7如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是。解：根据不等式解集的几何意义，作函数和函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取值范围是。例8求值。解：，构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而所以可得结果为。例9已知实数x、y满足，则的最大值是。解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。四、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结

6、果。例10不等式的解集为（4，b），则a=，b=。解：设，则原不等式可转化为：∴a>0，且2与是方程的两根，由此可得：。例11不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是。解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆10福建省邵武第一中学guanyoyo@126.com，∴。例12函数单调递减区间为。解：易知∵y与y2有相同的单调区间，而，∴可得结果为。总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。五、练习1已知函数，则讲解　由，得，应填4.请思考为什么不必求呢？2．集合的真子集的个数是讲解　，显然集合M中

7、有90个元素，其真子集的个数是，应填.快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是3．　若函数的图象关于直线对称，则讲解　由已知抛物线的对称轴为,得　，而，有，故应填6.4．果函数，那么　　　　　讲解　容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是原式＝，应填本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：10福建省邵武第一中学guanyoyo@126.com设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得5．　已知点P在第三象限，则角的终边在第象限.讲解　由已知得　　　　　　　从而角的终