理学院 数值计算方法 实验五

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1、实验五实验名称数据拟合与函数逼近姓名张见学号08119054班级08信计（2）班指导教师张昆实验日期2010-12-1成绩一、实验目的1、掌握最小二乘拟合多项式的性质及计算；2、观察最小二乘拟合多项式数值稳定性；3、掌握最佳平方逼近多项式的性质及计算,并作出函数的图像。二、实验题目1、给定数据点如下表:xi00.50.60.70.80.91.0yi11.751.962.192.442.713.00用最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式，和拟合多项式的图形。2、观察最小二乘多项式的数值不稳定性：①将区

2、间[-5,5]10等分，对函数计算点xi上的函数值，计算数据点(xi,，yi)相应的的1~9次拟合多项式，作出拟合多项式图形并与的图形进行比较；②给定函数数据点如下表xi0.511.21.41.61.825yi5.88001.68001.28801.07070.94650.87640.84001.2576计算数据点(xi,，yi)相应的的1~7次拟合多项式，作出拟合多项式图形并与的图形进行比较；3、计算x4或ex在区间[0,1]上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式，作出最佳平方逼近多项式图形并与的函数图形进行比较。三、实

3、验原理I、最小二乘多项式当由实验提供了大量数据时，不能要求拟合函数j(x)在数据点(xi,yi)处的偏差严格为零。但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势，需对偏差有所要求。通常要求偏差平方和最小，即：此即称为最小二乘原理（二乘即平方）。函数y=f(x)的一组实验数据F是全体次数不超过n(n

4、入数据的系数矩阵，,则，从而求出，所以求出最小二乘拟合多项式是2、观察最小二乘多项式的数值不稳定性：把区间[-55]10等分，即,在由原函数求出y.设，带入数据的系数矩阵，,则，从而求出，所以求出最小二乘拟合多项式是3、函数f(x)在区间[0,1]上的n次最佳平方逼近多项式图像设函数f(x)在区间[0,1]上的n次最佳平方逼近多项式为在区间[0,1]上的系数矩阵H=hilb(n+1),，其中，因此,所以求出函数f(x)在区间[0,1]上的n次最佳平方逼近多项式为一、实验图形1、最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、

5、三次拟合多项式2、观察最小二乘多项式的数值不稳定性：①函数和1~~9次最小二乘多项式图一起输出②函数和1~~7次最小二乘多项式图一起输出3、I、x4在区间[0,1]上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像一次最佳平方逼近多项式：二次最佳平方逼近多项式：三次最佳平方逼近多项式：II、ex在区间[0,1]上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像一次最佳平方逼近多项式：二次最佳平方逼近多项式：三次最佳平方逼近多项式：一、实验分析1、最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式从图中一、二、三次拟合多项式图形，

6、可以看出：一拟合多项式图形与二、三次拟合多项式图形大致一样，而二、三次拟合多项式图形基本完全重合，因此随着拟合次数的增加，函数与拟合多项式之间的差距减小。2、观察最小二乘多项式的数值不稳定性：从函数和1~~9次最小二乘多项式图形，函数和1~~7次最小二乘多项式图形，可以看出：函数与n次拟合多项式先减小之间的差距，然而随着次数的增大，他们之间的差距又增大，然后有减小，因此函数与n次拟合多项式不稳定。3、函数f(x)在区间[0,1]上的n次最佳平方逼近多项式图像从x4在区间[0,1]上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像和

7、ex在区间[0,1]上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像中，可以看出：函数f(x)=x4的图像和函数f(x)=x4的三次最佳平方逼近多项式的图像基本完全重合，函数f(x)=ex的图像和函数f(x)=x4的二、三次最佳平方逼近多项式的图像基本完全，函数f(x)=ex的最佳平方逼近更快，他们的最佳平方逼近多项式与原函数非常逼近。二、评阅意见签名：评阅日期：附表一、程序代码1、最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式x=[00.5:0.1:1]';y=[11.751.962.192.442.713.00

8、]';yiersancinihetuxiang(x,y)2、观察最小二乘多项式的数值不稳定性：①函数和1~~9次最小二乘多项式图一起输出x=(-5:5)';fuhehanshuniyi(x)②函数和1~~7次最小二乘多项式图一起输出x=[0.50001.00001.20001.40001.60001.8