理学院 数值计算方法 实验二

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1、实验二实验名称线性方程组的数值解法姓名张见学号08119054班级信计（2）指导教师张昆实验日期2010-11-12成绩一、实验目的1、掌握Gauss消去法及Gauss列主元消去法，能用这两种方法求解方程组；2、掌握Jacobi和G-S迭代法，能应用Jacobi和G-S迭代法求解方程组；1、掌握相应数值算法的程序编写；2、理解迭代法收敛的充要条件，会判断迭代法的收敛性。二、实验题目1、分别用列主元消去法与不选主元消去法求解，分析算法对结果的影响：a)b)2、给定矩阵A=hilb(n)与向量b,a)求的LU分

2、解；b)利用的LU分解求解方程组：；；x=b；c)利用的LU分解求，n值自己给定。三、实验原理1、当系数矩阵A的秩<>增广矩阵B的秩时，方程组无解向量；当系数矩阵A的秩=增广矩阵B的秩

3、组，即把方程组的增光矩阵化为上三角矩阵，再通过回代求得方程组的解向量2.设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式，则A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。即：A=LU其中首先，从第1行得出U的第1行的元素再从第1列算出L的第1列元素其次，从第2行算出U的第2行元素再从第2列算出L的第2列元素一般的，设已经给出U的第1行到第k-1行元素与L的第1列到第k-1列元素，则U的第k行元素为L的第k列元素为综上所述，可得用直接三角分解求L,U计算公式为：求解Ax=bLUx=b,求得方程

4、组的解向量一、实验内容1.①列主元消元法当方程组有唯一解向量时，增广矩阵B的第i()次消元后为，在的第i+1列中与所在的行互换，然后把下的元素化为零。最后增广矩阵化为上三角矩阵，再通过回代求得方程组的解向量②不选主元消去法当方程组有唯一解向量时，用高斯消元法求解方程组，即把方程组的增光矩阵化为上三角矩阵，再通过回代求得方程组的解向量2.a)求A的LU分解设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式，则A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。即：A=LU其中首先，从第1行得出U的第1

5、行的元素再从第1列算出L的第1列元素其次，从第2行算出U的第2行元素再从第2列算出L的第2列元素一般的，设已经给出U的第1行到第k-1行元素与L的第1列到第k-1列元素，则U的第k行元素为L的第k列元素为综上所述，可得用直接三角分解求L,U计算公式为：求解Ax=bLUx=b,求得方程组的解向量b)利用A的LU分解求解下列方程组：(1)Ax=bAx=bLUx=b,求得方程组的解向量(2)(3)c)利用A的LU分解求一、实验结果1)a)(1)列主元消元法e=7.1054273576(2)不选主元消元法e=2.8

6、36931460819089a)(1)列主元消元法e=1.01753620972(2)不选主元消元法e=7.9611553714257982)a)求A的LU分解,b)利用A的LU分解求解下列方程组：①Ax=be=6.301164130741664KA=1.61889985892434②；e=2.810799578152150KA=1.61889985892434③；方程组无解；c)利用A的LU分解求e=1.661653332281664一、实验分析1.分别用列主元消去法与不选主元消去法求解，分析算法对结果的

7、影响：由a)、b)的试验结果看，方程组解的残余向量r及它的条件-2范数e，选用列主元消去法的r比不选用主元消去法的r更加接近0向量，且选用列主元消去法的e远小于不选用主元消去法的e，因此选用列主元消去法的解很接近方程组的解，得到的解更加精确。2.从实验结果看，利用的分解，求解方程组的解。从求得的解的残余向量和它的-2范数看出，得到的解向量更加接近方程组的真解向量，它们之间的误差很小，因此利用的分解求得的解向量很精确。一、评阅意见签名：评阅日期：附表二、程序代码(vb代码)1)(a)列主元消元法Private

8、SubCommand1_Click()Dima()AsDouble,b()AsDouble,tAsDouble,dAsDouble,NiAsInteger,x()AsDoubleDimnAsInteger,mAsIntegerm=0n=Val(InputBox("输入线性方程组的阶数n"))'输入系数矩阵ReDimPreservea(n,n)Picture1.Print"系数矩阵："Forv=1TonForw=1