组合 数学 复习-1

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1、排列组合1.相异元素不允许重复的排列数为？2.相异元素允许重复的排列？3.不尽相异元素的全排列？当r=n时，首先视为n个不同元素的全排列，共有n!种。但对每个排列实际重复统计了n1!,n2!...nt!次。原因是当元素不同时，同类元素相互交换位置，对应不同的排列，而当同类元素相同时，同类元素互相交换位置，该排列不变。4.相异元素不允许重复的圆排列和项链排列的方案数？圆排列：从n个元素中不重复的取r个围成的圆排列项链排列：对于圆排列，将所穿的环翻过来，是另一种圆排列，但对于项链排列是同一种，故除以2。5.相异元素不允许重复组合数6.相异元素允许重复的组合问题7.多项式系数的求法？定理1：

2、设n与t均为正整数，则有（2）其中求和是在使的所有非负整数列上进行的。1.不同的5个字母通过通信线路被传送，每两个相邻字母之间至少插入3个空格，但要求空格总数必须等于15，共有多少种不同的传送方式。解5个字母的全排列为5！先将12个空格均匀的放入4个间隔内，再将剩余的3个空格插入4个不同的间隔内，方案数为从4个相异元素中可重复的选3个元素：按照乘法法则：总的传输方式有5！.20种2.一位学者要在一周内安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排方案？解：（1）是重复组合问题。（相异元素允许重复的组合）。每周按7天计算，先拿出5*7=35小时平均分配到每一天，只有一

3、种安排方案，其次将其余的50-35=15小时安排到7天之中，每天的小时数不受限制，则有：C(n+r-1,r)=C(7+15-1,15)中安排方案。（2）上述安排方案中假定该学者每天至少工作5小时，最多可以工作5+15=20小时。若限制除了要求的5小时外，第i天最多再工作小时（），则答案是多项式中的系数。1.r个质点放到n个盒子里去，（１）ｒ个质点是不同的，任何盒子可以放任意个；分析：第一个质点有n种放法，…第r个质点有n种放法。共种分法：重复排列问题（２）ｒ个质点完全相同，每一个盒子可放任意个；分析：因为r个质点相同，故不分先后顺序，是组合问题。属于相异元素允许重复的组合数：（３）ｒ个

4、质点都完全相同，每盒不得超过一个。分析：不允许重复的组合数：14.组合等式中：加法公式，乘法公式（证明）（关键是把元素分成几类）15.求的展开式？16.的展开式中，的系数是？17.今天是星期日，再过天是星期几？解：可以看出后50项都是7的倍数，第一项又可以表示为：所以，再过天是星期4母函数1.普母函数的定义定义对于数列，称无穷级数为该数列的普通型母函数，简称普母函数或母函数，同时称为的生成数列。有限数列，r=0,1,2,…,n的普母函数是证：2.组合的母函数：r-可重组合的母函数为？定理设,且则S的可重组合数的母函数为：其中，r可重组合数为的系数1.组合的母函数：r-无重组合的母函数为

5、？2.组合的母函数：r-无限可重组合的母函数为？3.组合的母函数：每个元素至少取一个，则r-可重组合的母函数为：4.组合的母函数：每个元素出现非负偶数次，则r-可重组合的母函数为：？5.指数型母函数：对于数列把形式幂级数称为数列的指数型母函数，而数列则称为指母函数的生成序列。6.排列的母函数：重集S的r-可重排列的指母函数为？定理2.3.1设重集，且，则S的r可重排列的指母函数为其中r可重排列数为的系数。1.排列的母函数：集合S的r-无重排列的指母函数为？2.排列的母函数：集合S的r-无限可重排列的指母函数为？3.有18张戏票分给甲，乙，丙，丁四个班，其中甲乙两班至少1张，甲班最多5张

6、，乙班最多六章；丙班最少2张，最多7张；丁班最少4张，最多10张。可有几种分配方案？解：这实质上是由甲，乙，丙，丁四类共28个元素中可重复地选取18个元素的组合问题。其中由推论6知相应的母函数为共有140种分配方案1.例：从n双互相不同的鞋中取出r只，要求其中没有任何两只是成对的，问共有多少种不同的取法？解法二母函数法，由定理2.1.1得由于每类元素最多只能出现1次，故中不能有项，再由同双的两只鞋子有区别，x的系数应为2。2.数列｛｝的指母函数为普母函数为：3.例.盒中有3个红球，2个黄球，3个蓝球，从中取4个球，排成一列，问共有多少种不同的排列方案。球的种类3种，，r=4,由排列母函

7、数定理知所以，从中取4个球的排列方案有70种。1.例五个数字1，1，2，2，3能组成多少个四位数？解用表示组成r位数的个数，的指母函数为2.证明序列C(n,n),C(n+1,n),C(n+2,n),…的母函数为3.设，求序列的母函数，其中是S的满足下列条件的n-组合数；（1）S的每个元素都出现奇数次；（2）S的每个元素出现3的倍数次；（3）不出现，至多出现一次；（4）只出现1，3，11次；只出现2，4，5次；（5）S的每个元素至少出现10次。递