《组合数学》教案 1章 排列组合

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1、《组合数学》第一章组合数学基础1/11《组合数学》第一章组合数学基础习题1（1）基本题：1～9，14，16，19，22～23，29，31（2）加强题：11～12，17，18，21，28（3）提高题：13，15，20，24～26，30，32（4）关联题：10，271-1在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（解）问题相当于求在相异元素中不重复地取1个、2个、…、4个元素的所有排列数，答案为＝5＋20＋60＋120＝2051-2比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数

2、字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7。（解）（1）分类统计：①一位正整数有个；②两位正整数有＝81个；③三位正整数有＝9×9×8＝648个；④千位数小于5的四位数有＝4×9×8×7＝2016个；⑤千位数等于5，百位数小于4的数有＝4×8×7＝224个。由乘法法则，满足条件的数的总个数为9＋81＋648＋2016＋224＝2978（2）仿（1），总个数为＋＋＋＋＝7＋49＋294＋630＋150＝11301-3一教室有两排，每排8个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？（1）规定

3、某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；（2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。（解）（1）5人在前排就座，其坐法数为，4人在后排就座，其坐法数为，还空7个坐位，让剩下的个人入坐，就座方式为种，由乘法法则，就座方式总数为＝28449792000（2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也如此。可分成三种情况分别讨论：①.前排恰好坐6人，入坐方式有种；②.前排恰好坐7人，入坐方式有种；③前排恰好坐8人，入坐方式有11/11《组合数学》第一章组合数学基础种。各类入坐方式互相不同，由加法法则，总的入

4、坐方式总数为＋＋误：先选6人坐前排，再选4人坐后排，剩下的4人坐入余下的6个座位。故总的入坐方式共有种。但这样计算无疑是有重复的，例如恰好选6人坐前排，其余8人全坐后排，那么上式中的就有重复。1-1一位学者要在一周内安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排方案？（解）是重复组合问题。（1）每周按7天计算，先要拿出5×7＝35小时平均分配到每一天，再将其余的15小时安排到7天之中，每天的小时数不受限制，则安排方案数为（2）若每周的工作日按6天计，则问题变成在平均分配完5×6＝30小时后，

5、再将余下的20小时分配到这6天中，但此时每天最多只能分配19小时。或者更一般，每天在5小时外再最多工作小时，那么，答案是多项式＝中的系数，其中。（3）另外，设每周工作t天，每天最少工作5小时，最多工作小时，可以不按照上边的两步分配方法求解，而是直接计算多项式＝，中的系数，即得答案。1-2若某两人拒绝相邻而坐，问12个人围圆桌就坐有多少种方式？答11！－2×10！＝9×10！1-3有15名选手，其中5名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问

6、有多少种选法？答11/11《组合数学》第一章组合数学基础＝40＋2×(140＋80)＋(280＋80＋2×280)＝14001-1求展开式中项前的系数。答＝＝100801-2求的展开式。（解）由多项式的展开式公式＝＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋可以验证，系数之和11/11《组合数学》第一章组合数学基础1×3＋4×6＋6×3＋12×3＝81＝1-1求展开式中的系数。答.＝＝8401-2试证任一正整数n可唯一地表成如下形式：n＝，0≤ai≤i，1-3证明n

7、C(n－1，r)＝（r＋1）C(n，r＋1)。并给出组合意义。意义：将n个人分为3组：一组1人，一组r人，另一组人。一种分法是先从n个人中选出r＋1人，剩下人为一组，再将所选的r＋1人分为两组，一组1人，一组r人。另一种分法是先选一人为一组，再从其余的人中选人为一组，剩下的人为一组。1-4证明＝n2n－1。（证）用殊途同归法。将n个不同的球放入标号为A、B、C的3个盒子，其中要求A盒只放1个球，其余两盒的球数不限。那么，有两种思路：（1）先从此n个不同的球中选出1个，放入A盒，再将其余个球放入另外两盒，有种放法

8、；（2）先由n个球中选出k个，再从所选的k个球中选出1个放入A盒，将其余的k－1个球放入B盒，所剩的n－k个球放入C盒，有种放法。当，各种情况互不重复，且包含了所有放法，故对k求和，即得等式左端。1-5有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数，问有多少种方案？（解）设取的第一组数有a个，第二组有b个，而要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要从n