求函数值域的几种方法

《求函数值域的几种方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、高中数学中求函数值域的几种方法汝南双语学校赵保刚　　函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话

2、，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。若有非空数集A到B的映射f:A→B，则函数：y=f(x)(x∈A,y∈B)的值域是自变量x在f作用下的函数值y的集合C，很明显，CB，求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握，同时应注重数形结合，等价转换，分类讨论等重要数学思想的理解与运用。下面通过八个方面的例题来加以说明。　题

3、型一定义法　　要深刻领会映射与函数值域的定义。　　例1．已知函数f:A→B（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系：（）。　　A．M＝A，N＝B　　B．MN，N＝B　C．M＝A，NB　　D．MA，NB　　说明：函数的定义域是映射f：A→B中的原象集合A，而值域即函数值的集合是集合B的子集。　　故：应有M＝A，NB，选C。　　例2．已知函数f(x)=2log2x的值域是[-1，1]，求函数y=f-1(x)的值域。　　分析：要求反函数的值域，只需求原函数的定义域。　　解：由已知可得　　f(x)∈[-1，1]，，解之得，　　即函数y=f-1(x)的值域是。

4、　　题型二利用均值定理求函数的值域　　例3．若函数的定义域是(0,+∞)，求值域。　　解：∵,　　∴,则　　　　　当且仅当时取“=”。因此，函数的值域是。　　例4．已知x+2y=1，x,y∈R+,求的最小值。　　解：由已知x+2y=1,x,y∈R+,则有　　　　　　　　　当且仅当，即时取等号，故的最小值是。　　说明：利用重要不等式均值定理求函数值域，要注意三条原则：一正数，二定值，三取等。　　题型三配方法　　形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数常用配方法求函数的值域，要注意x的取值范围。　　例5．设（a∈R），如果x∈(-∞,1)时，f(x)有意义，求a的取值范围。　　解

5、：由题知，当x∈(-∞,1)时，要使函数f(x)有意义，需满足不等式：，　　即1＋2x+a×4x>0恒成立，分离常数得　　　　由于，因而。　　故a的取值范围是。　题型四换元法　　通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法。　　例6．已知函数f(x)的值域是。求的值域。　　解：∵，　　∴。　　故，　　令，则，　　有，，　　由于y=g(t)在时单调递增，　　∴当时，;　　当时，。　　∴的值域是。　题型五判别式法　　形如的函数值域，可变形为　　(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0......(1)　　当d

6、y-a≠0时，(1)式为关于x的一元二次方程，由于函数的定义域为非空数集，故方程(1)有实根，因而Δ=(ey-b)2-4(dy-a)(by-c)≥0.....(2)，再通过不等式(2)求y的最大值和最小值。此法称为判别式法　　例7．求函数的值域。　　解：由已知得，　　(y-1)x2+(1-y)x+y=0.　　　当y=1时，方程(y-1)x2+(1-y)x+y=0无解，　　∴y≠1,　　又∵x∈R，则Δ＝(1-y)2-4y(y-1)≥0　　解之得。　　又因为y≠1,　　故函数值域为。　　说明：利用判别式法求函数的值域，一是方程二次项系数为0的情形要特别讨论；二是要看函数的定义域

7、是否满足x∈R。如果x有特定的范围限制时，往往要综合运用判别式和韦达定理等，方能求出y的值域。　　题型六利用函数的单调性求函数的值域　　例8．求函数的值域。　　解：函数的定义域为，函数y=x和函数在上均为单调递增函数。　　故。　　因此，函数的值域是。　　题型七数形结合法　　通过函数图象，把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题。　例9．已知：实数x,y∈R，满足(x-2)2+y2=3,求的最值。　　解:如图，因为，可看作是动点P(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，而动点P(x，y)在圆(