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1、§4.5三角函数求值预备知识·已知锐角，求三角函数值·三角函数的几何意义重点·从三角函数线得到特殊角的三角函数值·三角函数的周期性和周期难点·对周期函数和周期的理解学习要求·能熟记特殊角的三角函数值，并了解它们的来历·理解三角函数具有周期性的特点，并记住正弦、余弦和正切函数的周期·会用计算器，求任意角的三角函数值153－直到现在，还没有介绍，已知任意一个角a，怎么来求得三角函数值sina,cosa和tana．本节将学习一些特殊角度的三角函数值，如何利用计算器求三角函数值．图4-27yx11OTAPM····1.特殊角的三角函数值所谓在
2、[0,2p]内的特殊的角，就是表4-1中所列的就是那些角．图4-27表示所有这些特殊角及对应的正弦线和余弦线及部分正切线． 对第一象限内的几个特殊角，三角函数线的数值是可以应用直角三角形知识，直接算出来的．如特殊角，正弦线、余弦线和正切线依次为其MP,OM和AT(见图4-27)．因为直角三角形的一个锐角为ÐOPM=30°=(另一个锐角为60°=)时，边长之比是对边：邻边：斜边=：：1，在RtDOMP中，两个锐角正是30°和60°，而OP=1(单位圆半径)，所以MP=，OM=；同样在RtDOAT中，两个锐角也是30°和60°，而OA=
3、1(单位圆半径)，所以OT=2，AT=．这样角的三条三角函数线的数值就轻而易举地得到了． 图4-27中，特殊角,,的正弦线、余弦线和正切线的长度，就是这样计算出来的．只要改动符号，[0,2p]内所有特殊角的正弦线、余弦线及有意义的正切线的数值，就可全部得到．例如的正弦线是，余弦线是-，而正切线是-，即sin=,cos=-,tan=-．153－ 现在，请你自己把表4-2中所列的[0,2p]内的特殊角的三角函数值，全部填写进去．在使tana无意义的某些特殊角栏内，填写“不存在”．表4-2特殊角三角函数值表a(度)0°30°45°60°
4、90°120°135°150°180°(弧度)sinacosatanaa(度)210°225°240°270°300°315°330°360°(弧度)sinacosatana 表4-2中所列的这些特殊角的三角函数值，是最经常使用的，你必须要予以熟记．当然也不必硬背，你只要记住[0,]内特殊角的三角函数值就行了，其余均可以从图4-27和三角函数线的长度及值的符号推算出来． 例1 计算下列各式： (1)4sin90°+3cos0°；(2)-3sin270°+10cos180°；(3)(sin)3-cosp； (4)3tanp-5c
5、os；(5)(sin)2+(cos)2；(6)tan×sin×cos；(7)cos×cos×tan．解 (1)4sin90°+3cos0°=4´1+3´1=4+3=7▍(2)-3sin270°+10cos180°=-3´(-1)+10´(-1)=-7▍(3)(sin)3-cosp=(-1)-(-1)=0▍(4)3tanp-5cos=3´0-5´(-)=▍(5)(sin)2+(cos)2=()2+()2=+=1(其实，本题根本不必计算，直接可以写出结果1，你知道为什么吗？)▍(6)tansin×cos=×(-)=-▍153－(7)cos
6、×cos×tan=(-)×0×(-)=0▍课内练习11.计算下列各式：(1)4sin135°+3cos225°；(2)3sin180°+10cos135°；(3)(sin)3-cos；(4)3tan-5cos；(5)(sin)2+(cos)2；(6)tan×sin×cos；(7)cos×cos×tan． 2.三角函数的周期性和周期到现在，你已经知道[0,2p]内的特殊角的三角函数值了，那么对除此以外的角，如何求它们的三角函数值呢？首先，求在[0,2p]以外的角的三角函数值问题，都能转化成[0,2p]内的角的三角函数值问题；对正切和余
7、切函数，甚至都能转化成[0,p]内的角的三角函数值问题，实行这种转化的依据，就是三角函数的周期性． (1)正弦函数和余弦函数的周期性图4-28xyOP(x,y)Ba·Aa1 从任意角三角函数的定义可知，如果任何一个角a与另一个角a1的始边和终边重合，那么这两个角的三角函数值是相等的，如图4-28，a1=2p+a，因此sina1=sin(2p+a)=sina，cosa1=cos(2p+a)=cosa．更一般地，a与a1=2kp+a(kÎZ),若始边重合，则终边也是重合的，因此sin(2kp+a)=sina，cos(2kp+a)=co
8、sa，这说明sina,cosa在变化过程中，a每经过2kp(k=±1,±2,±3,...)，函数值重复出现，因此我们称它们为周期函数；而称¼,-4p,-2p,2p,4p,¼为它们的周期，其中T=2p称为它们的最小正周期．
