河南农业大学工科高数题库

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1、1．求解一：原式解二：原式2．求（前面已用重要公式的方法）解：令，（“”型）=，备选设，求和。3．设在内连续求常数和解：，，由的连续性可知得由的连续性可知得所以备选设问和为何值时，可导，且求。5（1）；（2）；（3）；解：（1）（2）（3）6．设由方程所确定，求和解：对方程两边关于求导，看作的函数，按中间变量处理于是，7．设由方程所确定，求解：，8．用面积为的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶。问油桶的直径为多长时，油桶的容积最大？又这时油桶的高是多少？解：设油桶的直径为，高为，容积为，则，，由后一式解出代入前一式，得目标函数（）求导，有，令即解得驻点（负根舍去），又，，故是的唯一极大值

2、点，它也是最大值点，即圆柱油桶的直径为时，其容积最大。这时油桶的高（）9．作函数的图形。解：（1）此函数的定义域为；（2）；令，得；令，得（3）点，把的定义域分成部分区间，，，。考察在每个部分区间内、的符号，并由此确定函数图形的升降与凹凸、极值点与拐点，填入下表。－－－＋没定义－－＋＋＋＋的图形拐点极小渐近线水平：；垂直：（4）计算得，；函数图形与轴的交点为；又图形过点，，。由上面得到的各种几何信息，可以画出函数的图形。10．11．12原式令，，；令，，；令，，。因此，原式13解：解一：解二：13．求解：14解：解一：（这里已设）解二：倒代换原式15．计算下列定积分（1）（2）（3

3、）（4）（收敛的广义积分）（5）（6）（收敛的广义积分）解：（1）（2）（3）令，，，时；时，于是（4）令，于是（5）（6）令，，则16．求下列微分方程的通解。（1）（2）（3）（4）解：（1）令，则，原方程化为，（注：）（2）；令，则，（3），令，则，，（4）令，则，例．求下列微分方程的通解（1）（2）（3）（4）解：（1）直接用常数变易法对应的齐次线性方程为，通解令非齐次线性方程的通解为代入方程得，故所求方程的通解为（2）直接用通解公式（先化标准形式），通解（3）此题不是一阶线性方程，但把看作未知函数，看作自变量，所得微分方程即是一阶线性方程，（4）此题把看作未知函数，看作自变

4、量所得微分方程为，，例1．求下列微分方程的通解（1）（2）解：（1）令，则，原方程化为属于贝努里方程再令则有通解：（2）令，则，原方程化为属于一阶线性方程17．求下列微分方程的通解。（1）（2）（3）（4）解：（1）特征方程，即特征根，微分方程通解（2）特征方程，即特征根二重根微分方程通解（3）特征方程特征根微分方程通解（4）特征方程即特征根二重根，微分方程通解18．求微分方程的一个特解。解：这是二阶线性常系数非齐次方程，其自由项呈的形状，其中，。而该微分方程的特征方程是：特征根是，。由于不是特征根，故设特解为为了确定和，把代入原方程，经化简，可得令此式两端同次幂系数相等，有由此解

5、得，，因此特解为以下备选．求微分方程的通解。原方程通解为求的通解。原方程的通解为