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1、数值计算方法（一）实验指导书一、基本情况·课程名称：数值计算方法（一）·课程编号：01024002,01025002,01825059,01826059·课程学时：授课50学时，上机实验20学时·适用专业：信息与计算科学、数学与应用数学、数学物理力学综合班等理科本科生·使用教材：《数值计算方法（一）》上海大学数学系编·数值实验：1）Lagrange插值多项式2)Newton差商插值法3）Aitken逐次线性插值法4）等距节点情况下的Newton差分插值法5）两点三次Hermite插值法6）Lagrange插
2、值余项的极小化法求近似最佳一致逼近多项式7）Newton-cotes型求积公式8）Romberg算法9）Gauss型求积公式10)Remes算法(机动)·实验环境：装有FORTRAN4.0以上系统或C语言系统的微型计算机·实验要求：在上机实验时完成相应实验的算法的程序编制，并上机运行，学会应用这些算法于实际问题，以便对算法有更进一步的认识和理解。考察和体会数值计算中出现的一些问题和现象：误差的估计,算法的稳定性、收敛性、收敛速度以及迭代初值对收敛的影响等。二、实验内容（一）实验一：Lagrange插值多项式
3、1、目的：学会Lagrange插值算法,并应用算法于实际问题;观察Lagrange插值的龙格现象。2、例题：1）取正弦函数;2）取函数1、要求：要求用键盘输入,程序具有通用性.1)以0.32,0.34,0.36为节点,分别用线性插值和抛物插值求正弦函数在0.3367处的近似值;线性插值场合,比较内插与外插.2）分别取节点数的等距节点为插值点，构造出，并画出其图形，与的图形比较；观察在附近的现象，写出分析结果。4、公式：Lagrange插值多项式：，其中（二）实验二：Newton差商插值法1、目的：学会New
4、ton差商插值法,并应用算法于实际问题.2、例题：取函数3、要求：已知用Newton差商插值法求4次Newton差商插值多项式在2.15处的值,以此作为函数值的近似值4、公式：Newton差商插值多项式：其中、、、依次为一阶、二阶、、阶差商.（三）实验三：Aitken逐次线性插值法1、目的：学会Aitken逐次线性插值法,并应用算法于实际问题.2、例题：取双曲正弦函数.3、要求：已知用Aitken逐次线性插值法求在0.23处的具有六位正确的有效数字的近似值,要求一旦达到指定的精度,计算便自动结束.1、公式：
5、Aitken逐次线性插值公式：而（四）实验四：等距节点情况下的Newton差分插值法1、目的：学会等距节点情况下的Newton差分插值法,特别是Newton前插公式.并应用该算法于实际问题.2、例题：取函数1、要求：已知用Newton前插公式求的近似值.4、公式：Newton前插公式：其中而、、、依次为函数在处以为步长的一阶、二阶、、阶向前差分.（五）实验五：两点三次Hermite插值法1、目的：学会两点三次Hermite插值法,并应用该算法于实际问题.2、例题：取函数3、要求：已知用两点三次Hermite
6、插值公式求在2.45处的近似值.4、公式：两点三次Hermite插值公式：（六）实验六：Lagrange插值余项的极小化法求近似最佳一致逼近多项式1、目的：学会用Lagrange插值余项的极小化法求近似最佳一致逼近多项式(即用次Tchebycheff多项式的零点为插值节点构作Lagrange插值多项式),并应用该算法于实际问题.2、例题：取函数3、要求：取,以为节点,构作Lagrange插值多项式,这就是函数的4次近似最佳一致逼近多项式.取等,插值来检验逼近效果.4、公式：同Lagrange插值法.（七）实
7、验七：Newton-cotes型求积公式1、目的：学会Newton-cotes型求积公式,并应用该算法于实际问题.2、例题：取定积分3、要求：选择等分数,用复化Simpson求积公式求上述定积分的误差不超过的近似值,已知定积分的准确值为-12.0703463161、公式：复化Simpson求积公式：其中,（八）实验八：Romberg算法1、目的：学会数值求积的Romberg算法,并应用该算法于实际问题.2、例题：求定积分3、要求：要求程序不断加密对积分区间的等分,自动地控制Romberg算法中的加速收敛过程
8、,直到定积分近似值的误差不超过为止,输出求得的定积分近似值.4、公式：数值求积的Romberg算法公式：梯形求积公式：复化梯形求积的递推化公式：加速收敛公式：其中为定积分近似值,决定着Newton-cotes求积公式的阶数,例如为一阶Newton-cotes求积公式(即梯形求积公式),一般地,是阶Newton-cotes求积公式的计算结果;决定着等分数,是在等分情况下的阶复化Newton-cotes求积公式的计算
