信号与系统习题解

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1、第6章系统及系统的时域分析例1设一个LTI离散系统的初始状态不为零，当激励为时全响应为，当激励为时全响应为。（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为时，求系统的全响应。（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为时，求系统的全响应。（3）求该系统的单位序列响应。解：设系统的初始状态保持不变，当激励为时系统的零输入响应和零状态响应分别为、。依题意，有：根据LTI系统的性质，当激励为时全响应为联立式、，可解得：同样，根据LTI系统的基本性质，不难得到：（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为时，系统的全响应为：226

2、（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为时，系统的全响应为：（3）由于，所以该系统的单位序列响应为：例2一个LTI连续系统对激励的零状态响应如例2图所示，求该系统的冲激响应。解：依题意，该系统的零状态响应为：由于没学过卷积逆运算，无法直接求得冲激响应，可以从卷积运算的性质下手，设法使激励信号中出现，这样就有可能求出。因为，不难发现：从而，一方面，根据卷积分配律：另一方面，根据卷积的微分性质：226故系统的冲激响应为：其波形如例2解图所示。例3求下面例3图（1）所示系统中的加权系数，以使得该系统与例3图（2）所

3、示的系统等效。解：如果两个离散系统的单位序列响应相同，则这两个系统等效。因此，必须先求出每个系统的单位序列响应。根据例3图（2），可以得到该系统的差分方程为：设该系统初始状态为零，当激励为单位取样信号时，系统响应就是单位序列响应，上述差分方程可以写为：此差分方程的特征方程为：解之，得特征根：由于激励是单位取样信号，方程特解为零，故单位序列响应的形式与齐次解相同，即：226由于初始状态不难根据差分方程迭代求出的初始条件：将它们代入单位序列响应，求得解之，得故：对于例3图（1）所示系统的响应为：因为系统的零状态响

4、应等于激励信号和单位序列响应的卷积，所以图（1）所示系统中的各加权系数正是该系统的单位序列响应在不同时刻的样值。这样要使图（1）和图（2）所示的两个系统等效，则图（1）所示系统的加权系数就应和式相同，即从上面分析可以看出，图（1）所示系统实际上是一个卷积器。利用这个结构可以模拟线性离散系统。6.3习题精解5.已知系统方程及其对应的初始条件（状态），求系统的零输入响应。（1），给定：；（2），给定：；解：（1）特征方程为：，得特征根：，226因而，可设零输入响应为：代入初始条件得：联立以上两式，解得所以，系统的

5、零输入响应为：（2）特征方程为：，得特征根：因而，可设零输入响应为：代入初始条件得：联立以上两式，解得所以，系统的零输入响应为：6.给定系统微分方程、初始状态（状态）以及激励信号分别为以下三种情况：（1），（2），（3），试判断系统在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其值，对（3）写出和值。解:（1）将代入方程，由于方程右边没有冲激信号及其导数，所以系统在起始点（从状态到状态）没有发生跳变。从而可知：（2）将代入方程，由于，即方程右边有冲激信号，所以226系统在起始点（从状态到状态）会发生跳变。根

6、据奇异函数匹配法的原理，可设：。（注意：这里不代表单位阶跃信号，只是借用它表示在点有一个单位的跳变量。）从而有：代入原方程可得：解得：故（3）将代入方程，由于，即方程右边有冲激信号，所以系统在起始点（从状态到状态）会发生跳变。根据奇异函数匹配法的原理，可设：从而有：，代入原方程可得：解得：故：，7.给定系统微分方程，若激励信号和初始状态分别为，试求系统的全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。解：（1）求零输入响应：由已知条件有：特征方程：226特征根为：，故可设零输入响应（齐次解）

7、为：代入初始条件，并求解得，故（2）求零状态：依题意，可设齐次解，又由于时，，易知是方程的一个特解。故零状态响应为：为了确定待定系数，将代入原方程，有：根据奇异函数匹配法，当时，可设：，则：，代入方程，平衡两边相同项的系数得故，代入表达式，可解得：，故（3）全响应，其中：零输入响应为：零状态响应为：226自由响应为：强迫响应为：8.有一系统满足：当激励为时，全响应为；当激励为时，全响应为。（1）求该系统的零输入响应；（2）设系统的初始状态保持不变，求其对于激励为的全响应。解：（1）设当激励为时，系统的零输入响

8、应为、零状态响应为，则系统全响应为：系统的初始状态保持不变，根据LTI系统的性质，当激励为时全响应为：联立式、，可得：又知，用经典法解式所示的方程，可得从而，系统的零输入响应为：（2）由（1）不难看出，系统的单位冲激响应所以，根据卷积积分法，当激励为时，零状态响应为：又由于系统的初始状态保持不变，所以系统的零输入响应仍为，故系统的全响应为：2269.某LTI系统，无初始储能，在外界激励作用下的响应为