高中数学 第二章 平面向量双基限时练18（含解析）北师大版必修4

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1、双基限时练(十八)　平面向量基本定理一、选择题1．设e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是(　　)A．e1＋e2与e1－e2　　B．2e1－3e2与4e1－6e2C．e1＋2e2与2e1＋e2D．e1＋e2与e2解析　∵4e1－6e2＝2(2e1－3e2)，∴2e1－3e2与4e1－6e2共线，即不能作为基底．答案　B2．在梯形ABCD中，AB∥CD，且＝3，若＝a，＝b，则等于(　　)A．3a＋bB．a＋3bC.a＋bD．a＋b解析　＝＋＝＋＝b＋a.答案　C3．设e1，e2为基底，＝e

2、1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值为(　　)A.2B.－3C.－2D.3解析　∵＝－＝3e1－3e2－(2e1－e2)＝e1－2e2，又A，B，D三点共线，∴(e1－ke2)＝λ(e1－2e2)，即∴k＝2.答案　A4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)A.B.C．－D．－解析　∵＝2，∴＝，故＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝.答案　A5．已知e1，e2是平面α内不共线向量，下列说法错误的是(　　)①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可表示平面α内的所有向量；②若

3、实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；③对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数对；④若λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ2e1＋μ2e2＝λ(λ1e1＋μ1e2)．A．①②B．③④C．②③D．①④解析　①②正确，③④错误．答案　B6．如图，过△ABC的重心作一直线分别交AB，AC于点D，E，若＝x，，＝y(xy≠0)，则＋的值为(　　)A.4B.3C.2D.1解析　欲求＋的值，可依据题设建立关于x，y的等式(方程思想)．因为D、G、E三点共线，所以＝γ，又＝

4、x，＝y，＝＝＝＋.故可得y－x＝γ，整理得－x＝γ，y＝γ，消去γ得＋＝3，故选B.答案　B7.如图，

5、

6、＝

7、

8、＝1，

9、

10、＝，∠AOB＝60°，⊥，设＝x＋y，则x，y的值分别为(　　)A．x＝－2，y＝－1B．x＝－2，y＝1C．x＝2，y＝－1D．x＝2，y＝1解析　过C作CD∥OB交AO的延长线于D，连接BC，由

11、

12、＝1，

13、OC

14、＝，OB⊥OC，知∠COD＝30°，∴BC∥OD，又＝＋＝－2＋，故x＝－2，y＝1，答案为B.答案　B二、填空题8．在矩形ABCD中，若＝6e1，＝4e2，O为对角线AC与BD的交点，则＝_

15、_______.解析　在矩形ABCD中＝＝6e1，＝＝4e2，又＝2＝＋＝6e1＋4e2，∴＝3e1＋2e2.答案　3e1＋2e29．设G为△ABC的重心，O为坐标原点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示＝__________.解析　＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(a＋b＋c)．答案　(a＋b＋c)10．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三向量的终点在一直线上，则实数t＝________.解析　如图，∵a，b，t(a＋b)三向量的终点在一直线上．∴存在实数λ使t(a＋b)－b＝λ得(t－λ)a

16、＝b.又∵a，b不共线，∴t－λ＝0且－λ－t＝0，解得t＝.答案　三、解答题11．已知三向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3.问a能否表示成a＝λ1b＋λ2c的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由．解析　a若能表示成a＝λ1b＋λ2c的形式，则有－e1＋3e2＋2e3＝(4λ1－3λ2)e1＋(－6λ1＋12λ2)e2＋(2λ1＋11λ2)e3.令4λ1－3λ2＝－1，－6λ1＋12λ2＝3，可得λ1＝－，λ2＝，而此时恰好能保证2λ1＋11λ2＝2，所以a＝－b＋

17、c.12．梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，试以e1，e2为基底表示向量，，.解　∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2.∵＋＋＋＝0，∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.又＋＋＋＝0，且＝－，＝，∴＝－－－＝－＋＋＝e2.13．已知，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上且AN＝2NC，AM交BN于P点，求AP与AM的比值．解　设＝a，＝b，则＝＋＝－a－3b，＝2a＋b.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使＝λ＝－λa－3λb，＝μ＝2μa＋μb.故＝

18、－＝(λ＋2μ)a＋(3λ＋μ)b.又＝＋＝2a＋3b，由平面向量基本定理得解得∴AP与AM的比为4:5.