最新高等岩石力学-应力应变分析复习教程

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1、高等岩石力学教程考试复习必看第三章应变分析物体在外界作用下会发生运动和变形，应变分析的目的是研究物体局部几何变化和物体内各点的位移。这种研究以物体内部各点的初始位置和它们之间的关系为基础。物体的变形或位移是在外部作用下发生的，也与物体本身的性质有关，但应变分析是从运动学的角度关系研究物体的变形。不涉及外部因素，也不过问材料性质。是一种不涉及引起物体运动和变形的原因的纯几何分析。所得的结论适用于任何连续介质。第一节位移描述称物体变形前在空间占据的几何位置为构形B，变形以后占据的新的空间位置为构形B/。变形前物体中的三个质点P、Q、R，变形

2、后到达新的位置P/、Q/、R/。用固定在空间中的笛卡儿坐标系，同时描述新、老两个构形。我们以初始构形中质点的位置标志质点。这样，P、Q、R既是质点的初始位置，也是质点的标识(或标志)。图3-1B/BUU0PQP/Q/位移的性质物体的连续性要求，其初始构形被不同的质点连续地、无间隙地充填。其后继构形B/被同样的质点连续地、无间隙地充填。从连续性假定，连同图3.1可以得到位移与变形的下列性质：1、变形以前的点与变形以后的点有一一对应关系。(从数学上，这意味着反函数存在且唯一，若连则反函数的导数也连续且唯一)；2、物体中各点的位移一般是不同的

3、；从上面两条性质可以导出：3、位移是位置的单值连续函数；4、物体中某点乃至物体整体的位移中包含了变形和刚体运动。相对位移矩阵(对连续体运动和位移的一种数学描述)考虑物质点P，其坐标为(x0，y0，z0)，位置矢量为。变形后P点运动到P/点，其坐标为，位置矢量为。P点的位移为，写成分量形式有(3-1)物质点Q是P点邻域内的一个点，Q点的坐标为(x，y，z)，位置矢量为，P点和Q点的坐标分量之间有关系x=x0+dx；y=y0+dy；z=z0+dz(3-2)变形后Q点运动到Q/点，Q/点的坐标为(x/,y/,z/)，位置矢量为，Q点的位移=U

4、=-，写成分量形式为(3-3)由于位移性质3，P点的位移U可以写成U0(x0，y0，z0)，其分量形式为u0(x0，y0，z0)；v0(x0，y0，z0)；w0(x0，y0，z0)(3-4)显然，P/点的坐标为x0/=x0+u0；y0/=y0+v0；z0/=z0+w0因此P的位移的分量可从下式求出u0=x0/-x0；v0=y0/-y0；w0=z0/-z0同理Q点的位移可以写为U(x,y,z)，或者U(x0+dx,y0+dy,z0+dz)。其分量形式为u(x，y，z)；v(x，y，z)；w(x，y，z)或者u(x0+dx，y0+dy，z0

5、+dz)；v(x0+dx，y0+dy，z0+dz)；w(x0+dx，y0+dy，z0+dz)(3-5)位移性质3还表明，位移是位置的单值连续函数，因此Q点的位移U可以用P点的位移U0表示。即Q点的位移分量u、v、w，可以用P点的位移分量u0、v0、w0表示。将u、v、w展开为P点位移的Taylor级数，并略去二阶以上小量注意到u(P)就是u0，并且记住各个偏导数都是在P点进行的，则上式可简写为(3-6a)同理可以得到(3-6b)(3-6c)用矩阵表示，则有(3-7a)式中是Q的的位移矢量，是P的位移矢量。P点和Q点的相对位移(即两点位移

6、之差)为(3-7b)(3-7)式右端的矩阵称为相对位移矩阵。矩阵中的各个偏导数，都是在P点进行的，即(i,j=x,y,z)(3-7b)式还可写成矢量形式(i,j=x,y,z)(3-8)此处已令注意式左端的u是相对位移矢量，不是位移矢量。(3-7)和(3-8)表明，只要P点的位移已知，则P点邻域内任一点Q的位移都是已知的。第二节变形描述物体的变形是通过一点邻域内的局部几何变化描述的。讨论伸长应变需要研究连接P点和P/点的微线元长度的变化。讨论角应变需要通过研究连接P点和P/点、Q/点组成的两微线元夹角的变化。应变的定义(工程应变)正应变也

7、叫伸长度，其定义为从上式可以看出，正应变是线段相对长度的变化，弹性力学中，以线元的伸长为正，压缩为负。剪应变也称角应变，其定义为角应变=两线元所夹角度的改变量在弹性力学中规定，若夹角减少，其角应变为正，反之角应变为负。一点的应变过P点做一个微小六面体，它的各个平面与坐标面平行，因此，它的各个棱边平行于坐标轴。我们规定过P点且平行于各坐标轴的线元(即微小六面体的棱边)长度的相对变化为，并规定过P点任意两段线元夹角的改变为。正应变(伸长应变)下面推导应变分量与位移分量之间的关系，将图3-2中的微小六面体投影到各个坐标面上。研究原来互相垂直的

8、两个线元，AB与AC的相对位移与变形。按伸长度和应变的定义，从图2-3中可以看出图3-2xyO图3-3ACB，(3-9a,b)A点的坐标为(x0，y0)，A/点的坐标为(x0+u0，y0+v0)从图中可以看