全国高中数学联赛新题型仿真试卷2

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1、全国高中数学联赛新题型仿真试卷2一试试题班级学号姓名分数一：填空题（每小题7分，共56分）1、已知集合，其中集合及，则的取值可能为。2、递增的正整数数列，满足则的值是。3、+…+的展开式中的系数是。4、在四面体ABCD中，AB=AC=AD=5，BC=3，CD=4，DB=5，则该四面体的体积为。5、设则方程的解为。6、设由模为1的个复数满足下面两个条件组成一个集合：若则其中。则集合。7、考虑十进制中的四位数，其数码是正整数，且数码之和是10，则这样的四位数共有。8、设分别是△ABC的三边，设，若，则=。二：解答题（

2、共44分）1、（本题满分14分）在△ABC中，若，且△ABC的周长为12，求其面积的最大可能值。2、（本题满分15分）数列定义如下：数列定义为：。（1）求的通项；（2）证明：；（3）证明：。3、（本题满分15分）过椭圆的左焦点F引倾斜角为的直线交椭圆于P、Q两点，交两准线于A、B两点，若

3、PQ

4、、

5、

6、AF

7、-

8、BF

9、

10、、

11、AB

12、成等比数列，求的值。二试试题班级学号姓名分数一：（本题满分50分）设A、B、C、D是同一圆上的四点，L、M、N分别为弧AB、BC和CD的中点，弦AM与CL交于点P，弦BN与DM相交于点Q，

13、求证：PQ∥LN二：（本题满分50分）对任意的正实数a,b,c，求证：(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca)三：（本题满分50分）对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，证明：对于任意整数n数[]为偶数。四：（本题满分50分）一个生物学家观察一只变色龙捉苍蝇，变色龙每捉一只苍蝇都要休息一会儿，生物学家注意到：（i）变色龙休息一分钟后捉到第一只苍蝇；（ii）捉第第只苍蝇之前休息的时间比捉第只苍蝇之前休息的时间相同，且比捉第只苍蝇之前休息的时间少一分钟；（ii）当变色龙停止休息时能立即捉到一

14、只苍蝇，问：（1）变色龙第一次休息9分钟之前，它共捉了多少只苍蝇？（2）多少分钟之后，变色龙捉到第98只苍蝇？（3）1999分钟之后，变色龙共捉了多少只苍蝇？全真模拟题（一）一：填空题（每小题7分，共56分）1、已知集合，其中集合及，则的取值可能为。2、递增的正整数数列，满足则的值是。1943、+…+的展开式中的系数是。Cn+134、在四面体ABCD中，AB=AC=AD=5，BC=3，CD=4，DB=5，则该四面体的体积为。5、设则方程的解为。6、设由模为1的个复数满足下面两个条件组成一个集合：若则其中。则集合。

15、7、考虑十进制中的四位数，其数码是正整数，且数码之和是10，则这样的四位数共有。（84）8、设分别是△ABC的三边，设，若，则=。2003二：解答题（共44分）1、（本题满分14分）在△ABC中，若，且△ABC的周长为12，求其面积的最大可能值。解：当时，显然成立，现用反证法证明当时，不成立（1）若，则∴　　∴（2）若，则①若均为锐角，则这时　　∴②若中有一个钝角，不妨设为，则，这时　　∴∴，设这时它们所对的边分别为，则∴∴这个三角形面积的最大可能值为。2、（本题满分15分）数列定义如下：数列定义为：。（1）求的

16、通项；（2）证明：；（3）证明：。（1）设则=一般地，若则由递推关系知。所以，的通项公式为（2）由（1）知，于是所以。（3）因为当时，所以。3、（本题满分15分）过椭圆的左焦点F引倾斜角为的直线交椭圆于P、Q两点，交两准线于A、B两点，若

17、PQ

18、、

19、

20、AF

21、-

22、BF

23、

24、、

25、AB

26、成等比数列，求的值。解：在椭圆中，∴左焦点F的坐标为(-1,0)设直线的参数方程为：为参数)代入椭圆中得：∴

27、PQ

28、=，

29、AB

30、=，

31、

32、AF

33、-

34、BF

35、

36、=∴∴∴二试试题一：（本题满分50分）设A、B、C、D是同一圆上的四点，L、M、N分

37、别为弧AB、BC和CD的中点，弦AM与CL交于点P，弦BN与DM相交于点Q，求证：PQ∥LN证明：作弧AD的中点E，连接MB、MC、ML、MN，设弧AB、BC、CD、DA所对的圆周角分别为2α、2β、2γ、2θ，则2α+2β+2γ+2θ=180°∴α+β+γ+θ=90°∵∠LME=α+θ，∠MLN=β+γ∴∠LME+∠MLN=90°即：ME⊥LN∵∠MPC=α+β，∠MCP=α+β∴∠MPC=∠MCP∴MP=MC同理可得：MQ=MB又∵MB=MC∴MP=MQ又∵ME平分∠PMQ∴ME⊥PQ∴PQ∥LN二：（本题满

38、分50分）对任意的正实数a,b,c，求证：(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca)证明：∵(a2+2)(b2+2)=(a2+1+1)(1+b2+1)≥(a+b+1)2∴(a2+2)(b2+2)(c2+2)=≥(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)又(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=2abc+(a2+b2+c2)+3(ab+bc+ca)+(