复变函数阶段练习

《复变函数阶段练习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《复变函数》阶段练习一（第一、二章内容）一、填空题：1.复数的实部______，虚部______，模_______，辐角_____________.2.的实部是_______，虚部是________，模为_________，主辐角为_________.3．的指数形式为__________，三角表示式__________.4．_____为整数____________.5．____________.6.则__________________.二、计算下列各题：1、求下列复数的模和主辐角（1）；　　（2）　　（3）２

2、．求解：因故３．求的所有根.解：４、求下列各函数值（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（３）５．已知调和函数，求其共轭调和函数及解析函数.所以又比较两式可得：故，有因此（C为任意常数）因而得到解析函数：６．设为调和函数，求解析函数解：利用C-R方程，得：所以又比较两式可得：故因此（C为任意常数）因而得到解析函数：７．已知在复平面上解析，求a,b,c的值.解：由C-R条件，，得所以，当时，在复平面上解析。8．设为调和函数，求解析函数.解：，由C-R条件，有：，于是，得9．已知调和函数，求解析函数解：利用C-R方

3、程，得：对y求偏导并利用C-R方程，有于是，知：，有因此（C为任意常数）因而得到解析函数：《复变函数》阶段练习二（第三、四章内容）一、填空题：1.______0______.2._____0_____.3.解析函数的导函数仍为______解析函数______，且_______________________.４、_______0__________5.＝______________6.的收敛半径为____1________.7.级数的收敛半径为______3_______.8.在处的Taylor展开式为____

4、_______________.9．在处的Taylor展开式为_______________.二、计算题：1.，其中C为由0到的直线段。解：C的参数方程为：i.计算积分其中，C为连接原点0到的直线段三、解：积分路径的参数方程为（），于是，，因此3．计算积分的值，其中C：.2．解：因在上解析，在的区域内，由柯西积分公式得：4．计算积分解：5．计算积分解：令，则在内解析。由高阶导数公式，得：6．求下列幂级数的收敛半径（１）；（２）。（１），收敛半径为2；（２），收敛半径为。7．求下列函数在点处的泰勒展开式其中，即8

5、．将函数分别在圆环,,内展开成罗朗级数.8．解：(1)由于，从而，利用（）得到：（）(2)由于，所以(3)由于，所以8．设，求在内的Laurent展开式。当时，有《复变函数》阶段练习三（第五、六章内容）一、填空题：1.是的_____3____级极点.2.为的_____本性_______奇点.3.____________,4.的奇点类型为____是三级极点_____,其留数为_________.５、在处的旋转角为___0____,伸缩率为_____2_____.６、将角形域映射为______　或上半平面_____

6、_____.计算题：1.求函数在有限奇点处的留数.解：是的2级极点，是的1级极点2．求的孤立奇点处的留数，并计算积分解：分别是的两个一级极点，原式3.求的孤立奇点处的留数，并计算积分解：有两个孤立奇点，为一级极点，为二级极点，于是=4.计算解：令，则原式=5.计算解：令，在实轴上无奇点，且比分子高4次，在上半平面有一个二级极点，故所以3.计算解：令，在上半平面有一级极点　７．求把上半平面映射成单位圆域的分式线性映射，并满足条件：(1);(2);（１）解由于，因而所求映射具有形式而所以于是所求映射为.（２）解由于

7、，因而所求映射具有形式而所以于是所求映射为.　　８．求把单位圆域映射成单位圆域的分式线性映射，并且满足条件解：由于将单位圆域映射成单位圆域的分式线性映射为.因为，所以.于是有而.因此所求映射为《复变函数》阶段练习四（第七章、第八章内容）一、填空题：1.__________2.__________3.____________4.ℒ____________，ℒ________________.5.的Laplace变换定义为_________,的Fourier变换定义为____________.6．已知，则其逆变换_

8、__________二、计算题：1.已知函数，求的Laplace变换.解：2.求解：由微分性质，有：3.利用Laplace变换求微分方程满足的特解。解：令L[y(t)]=Y(s),方程两端取Laplace变换，由微分性质得：所以为方程的特解。3.求的傅氏变换，并证明.解：故5.已知，求的Fourier变换，并计算.于是6、已知，求的Fourier变换.解：ℱ7．求下列初值问题的解：解（