第4讲 简单最值问题

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1、学科：奥数教学内容：第4讲简单最值问题 知识网络我们把研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，称为最大与最小问题。此类问题涉及很广，本讲以向同学们讲解解决此类问题的思维方法为主。 重点·难点虽然求最大和最小问题无固定的解法，但结合问题出现的不同的知识点，求解还是有章可循的。关键是要注意分析一些隐含着的限制条件。 学法指导解题是一种实践性较强的技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，要通过模仿、练习和钻研来掌握。学习中还要注意去发现并总结规律，将其应用到其他题目的求解中去，往往会起到事半功倍的作用。 经典例题[例1]把14分解为两个自然数的和，使它们的乘积

2、最大，求这个最大的乘积。 思路剖析先列出14可能分解成的两个自然数的和的所有情况：14=1+13，1×13=13；14=2+12，2×12=24；14=3+11，3×11=33，14=4+10，4×10=40；14=5+9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49。由上述算式可观察到，随着拆成的两个数越来越接近，积越来越大。因此将14拆成两个相等的数时，乘积最大。 解答把14分解为两个相等的数的和：14＝7+7，它们的积最大，为7×7=49。 点津由此题的求解，我们可以得到这样一个规律性的结论：当两个数和一定时，在它们相等时，乘积最大；在它

3、们不相等时，两数差距越大，乘积越小。应用此规模很容易判断：49×51与48×52的大小是：49×51＞48×52。[例2]已知：A、B、C、D、E、F、G、H是0~9中的8个不同的整数。构成算式，其中，、均为四位数，且A≠0，E≠0。求：与之和的最大值及最小值。 思路剖析将题中已知的算式转化成加法为：。注意到A、B、C、D、E、F、G、H为8个不同的数，那么为使千位上F与B不重复，则百位上求和不能有进位，相应的个位求和值也不能超过10。由此可确定G=0，C=9，D=H+4。 设，为使M值最大，则首位数字应尽可能大，由于C=9，则A≠9，那么取A=8，由于G=0，则F≠

4、0，那么F+9＞10，则E+l+l=A，可知E=6。其次应使百位数字B尽可能大，由于F+9=10+B，那么F与B是相邻自然数，剩下的数中只有4、5相邻，则F=5，B=4。最后使个位数字D尽可能大，则取D=7，那么H=3。这样可得M的最大值：8497+6503=15000。 为使M的值最小，那么取A=3，因为E+l+l=A，所以E=l，B值取尽可能小的，且F与B是相邻的自然数，则F=5，B=4。最后使个位数字D尽可能小，则取D=6，那么H=6-4=2。这样可得M的最小值：3496+150=4998 解答与和的最大值：15000最小值：4998。 点津适当地改变已知条件的

5、形式，将减法变成加法，有利于问题的思考。［例3］如图1，在6×6的方格纸上。P点在直线AB上滑动，那么（PC+PD）长度的最小值是多少？  思路剖析欲使（PC+PD）值最小，在PD、PC中含有三个字母，恰好构成△PCD，而（PC+PD）是其中的两边之和，DC为第三边。由三角形的性质，易想到两边之和大于第三边，即PC+PD＞DC。则DC应为PC与PD和的最小值。 解答当P点滑动到使C、P、D三点在一条直线上时，（PC+PD）的值最小。此时PC+PD=DC，DC长度为6。答：（PC+PD）长度的最小值是6。 点津恰当地应用几何图形的性质，有助于问题的解决。［例4］商店进玩

6、具熊若干，每三个一数则余下一只，若每五个一数则还差4个。问商店至少进了多少只玩具熊？ 思路剖析由题中条件“若每五个一数还差4个”，亦可理解为每五个一数余下一个。再加上第一个条件，“每三个一数余下一只”，说明玩具的总数若减去1之后，应既是3的倍数，又是5的倍数。因为3、5互质，则这样的数最小为3×5=15。 解答3×5+l=15+1=16（只）答：商店至少进了16只玩具熊。［例5］老师要给班里的37名同学每人发一支红笔和一支蓝笔，商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开包零售。5支一包的红笔60元，蓝笔70元；3支一包的红笔38元，蓝笔47元。请你帮助老师设计一下购

7、买方案，怎样买才能花钱最少？花多少钱？ 思路剖析先来比较一下两种红笔的单价5支一包单价60÷5=12（元）。3支一包的单价38÷3=12…2，即5支一包的红笔较便宜。再来比较两种蓝笔的单价：5支一包单价70÷5=14（元），3支一包的单价47÷3=15…2，还是5支一包的比较便宜。因此在方案中应多买5支一包的，以3支一包的作补充。37=5×7+2，一种方案是买7包5支一包的，再买1包三支一包的，将多花一支笔钱。第二种方案，少买几包5支一包的，调整为若干包3支一包的，使买的笔数正好。37=5×5+3×4，即买5包5支一包的，4包3支一包的。将两种方案都