《数值分析》习题3(2)

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1、习题三(第24、25、26、27、29、31、33题)24.设，证明当时，矩阵序列收敛，并求其极限。解：，可逆，25.设A=，已知方程组的精确解为(1)计算条件数；(2)取近似解计算残向量；(3)取近似解，计算残向量；(4)就近似解和，分别计算定理3.11中不等式(3.55)的右端，并与不等式的左端进行比较；(1)本题计算结果说明什么问题？解：(1)，(2)(3)(4)估计式(3.55)：对于:左端右端左端<<右端对于：左端=，右端=1.7143，左端和右端比较接近(5)由(1)知本题所给方程组是病态的。由(2)(3)知对于病态方

2、程组由残量小不能断定解的误差小。小但比大得多由(4)知估计式(3.55)是一个保守估计，有时左端比右端小得多。26.试分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组精确至2位有效数。解：Jacobi迭代格式0123401.20.750.7690.76812501.51.11.138751.138875022.142.122.125216667,,Gauss-Seidel迭代格式0123401.20.74850.7664206250.76737473201.351.14268751.13810523402.112.

3、12873752.12543163,,27.试分别求出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组的第次迭代误差的一般表达式。方程组的精确解为。解：Jacobi迭代格式Gauss-Seidel迭代格式29.写出求解下列方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式，并判断敛散性：(1)；(2)。解：(1)Jacobi迭代格式Gauss-Seidel迭代格式由于所给线性代数组的系数矩阵是按行严格对角占优的，所以两种迭代格式均是收敛的。(2)Jacobi迭代格式为Jacobi方法收敛Gauss-Seid

4、el迭代格式为,G-S法收敛。31.试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下列方程组的收敛性问题：(1);(2);(3)。解：(1)Jacobi迭代法迭代矩阵J的特征方程为Jacobi迭代格式发散(2)Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵G的特征方程为,,Gauss-Seidel迭代格式发散。33.给定线性方程组(1)写出SOR迭代格式；(2)试求出最佳松弛因子。解：(1)(2)迭代矩阵的特征方程为(*)===当时,(*)有两互异实根062当时,(*)有两相同实根当)时,(*)有两共轭复根1;,1,,当现用

5、分析法证明当时6当时，上式显式成立现考虑的情况14.5当时112