数值分析第2章习题

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1、[键入文字]第二章非线性方程（组）的数值解法考题[键入文字]一选择题(每题5分)1已知方程ex+10x-2=0在[0,1]中存在唯一实根，使用二分法求误差不大于12×10-3的根需要二分（）次（考二分法二分次数）(A)9(B)10(C)12(D)14解Bb-a2k+1≤12×10-31-02k+1≤12×10-3，2k≥103,k=102试确定方程在下列哪个区间内无根（D）A．B.C.D.3已知迭代公式收敛于则迭代公式是（）（考收敛阶数）（A）线性收敛（B）超线性收敛(C)平方收敛（D）三阶收敛解（C）迭代公式相应的迭代函数

2、为所以，该迭代公式平方收敛4、牛顿迭代法的原理是（B）A线性函数近似线性函数B线性函数近似非线性函数C非线性函数近似线性函数D非线性函数近似非线性函数5、用斯蒂芬森迭代法求解方程时取，它可达到收敛阶数是（B）（根据斯蒂芬森迭代法定理六）A．1B.2C.3D.4解：根据知存在，且(因为),则斯蒂芬森迭代法是2阶收敛的.二填空题（每题4分）1用牛顿法解方程xex-1=0在0.5附近的根牛顿迭代公式为（）解：xk+1=xk-xk-e-xk1+xk[键入文字]第二章非线性方程（组）的数值解法考题[键入文字]（fx=xex-1,f(x

3、)=ex+xex牛顿迭代公式为xk+1=xk-fxf(x)）（考牛顿法）2用牛顿法求重根具有线性收敛速度，当用知道重根数的求重根的修正牛顿法1求重根时具有（）收敛速度，当用未知重根数求重根的修正牛顿法2求重根时具有（）收敛速度。(考收敛速度)解：（二阶）（二阶）（考收敛速度）设f(x)=(x-x*)m,整数m≥2,g(x*)≠0，则x*为方程f(x)=0的m重根，此时有f(x*)=f(x*)=…=f(m-1)x*=0,fm(x*)≠0.只要f(xk)≠0仍可用牛顿法计算，此时迭代函数φx=x-f(x)f(x)的导数为φ(x*

4、)=1-1m≠0,且φx<1所以牛顿法求重根只是线性收敛.而求重根的修正牛顿法一和二都具有二阶收敛速度。3、求方程x=f(x)实根的割线法迭代公式为（割线法）4、设f(x)=(x2-a)3，当a为-2

5、5，6每题10分）1、给定函数，设对一切x，存在且，证明对于范围内的任意定数，迭代过程均收敛于的根。（迭代法局部收敛性）[证明]由可知，令，则，又因为，，所以，即，从而迭代格式收敛。2证明f(x)=在区间（1,2）内有唯一根，用二分法求此根要求误差小于0.05，(考二分法)解：令，则，，而且在（1,2）内f(x)=2x-1>0,因此方程在（1,2）内有唯一根。，所以有根区间为（1.5,2）,所以有根区间为（1.5,1.75）,所以有根区间为（1.5,1.625），所以有根区间为（，1.625）取此时，它与精确解的距离<3为求

6、方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，建立相应的迭代公式，判断敛散性（考压缩性）（1），迭代公式（2），迭代公式（3），迭代公式[键入文字]第二章非线性方程（组）的数值解法考题[键入文字]解：（1）设，则，从而，所以迭代方法局部收敛。（2）设则，所以迭代方法局部收敛。（3）设，则，所以迭代方法局部发散。4用迭代法求方程的根，保留3位有效数字，取初值。（考迭代法事后估计）答案：由求出根知m=-1,n=3,m-n=-4知迭代5次近似值为0.09055用牛顿下山法求解方程x3-x-1=0在x=1.5附近的一个根x*（牛顿

7、下山法）解：（牛顿下山法克服了局部收敛的缺点）当x0=0.6时由迭代法求得x1=17.9，它不满足下降条件，通过λ逐次取半进行计算，当时，可求得此时x1=1.140625,此时fx1=-0.656643而fx0=-1.384,显然｜f(x1)｜<｜f(x0)｜由x1计算x2,x3,…时，均能使下降条件成立，计算结果如下：x2=1.36181,fx2=0.1866；x3=1.32628,fx3=0.00667；x4=1.32472,fx4=0.0000086。[键入文字]第二章非线性方程（组）的数值解法考题[键入文字]即为x*

8、的近似.6用有重根时的牛顿迭代法求解方程x2+2xex+e2x=0取m=2,x0=0｜xk+1-xk｜｜<10-5时结束迭代。（考已知重根的牛顿修正法1）解：令fx=x2+2xex+e2x=0fx=2x+2ex+2xex+2e2x代入公式xk+1=xk-mf(xk)f(x)中m=2，计算结