近世代数10套试题

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1、《近世代数》试卷1(时间120分钟)二、判断题(对打“√”,错打“×”,每小题2分,共20分)1.()循环群的子群是循环子群。2.()满足左、右消去律的有单位元的半群是群。3.()存在一个4阶的非交换群。4.()素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。5.()无零因子环的特征不可能是2001。6.()无零因子环的同态象无零因子。7.()模97的剩余类环Z97是域。8.()在一个环中,若左消去律成立,则消去律成立。9.()域是唯一分解整环。10.()整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。一、填空题(共20分,第1、4、6小题各4分

2、,其余每空2分)1.设A、B是集合,

3、A

4、=3,

5、B

6、=2,则共可定义个从A到B的映射,其中有个单射,有个满射,有个双射。2.设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=的在G中的指数是。3.设G=是10阶循环群,则G的非平凡子群的个数是。4.在模12的剩余环R={[0],[1],……,[11]}中,[5]+[10]=,[5]·[10]=,方程x2=[1]的所有根为。5.环Z6的全部零因子是。6.整环Z[√-3]不是唯一分解整环,因为它的元素α=在Z[√-3]中有两种本质不同的分解α==。得分评卷人复

7、查人三、解答题(共30分)1.设S3是3次对称群,a=(123)∈S3.(1)写出H=的所有元素.(2)计算H的所有左陪集和所有右陪集.(3)判断H是否是S3的不变子群,并说明理由.2.求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。-20-3.在整数环Z中,求由2004,125生成的理想A=(2004,125)。四、证明题(共30分)1.设G是一个阶为偶数的有限群,证明(1)G中阶大于2的元素的个数一定为偶数;(2)G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。2.设φ是环(R,+,·,0,1)到环(,+,·,0

8、/,1/)的同态满射。N=Kerφ={x

9、x∈R且φ(x)=0/},证明:φ是同构映射当且仅当N={0}。3.证明:非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。-20-《近世代数》试卷2(时间120分钟)一、填空题(共20分)1.设G=(a)是6阶循环群,则G的子群有。2.设A、B是集合,

10、A

11、=2,

12、B

13、=3,则共可定义个从A到B的映射,其中有个单射,有个满射,有个双射。3.在模12的剩余环R={[0],[1],……,[11]}中,[10]+[5]=,[10]·[5]=,方程x2=[1]的所有根为。4.在5次对称群S5中,(12)(14

14、5)=,(4521)-1=,(354)的阶为。5.整环Z中的单位有。6.在多项式环Z11[x]中,([6]x+[2])11=。二、判断题(对打“√”,错打“×”,每小题2分,共20分)1.()若群G的每一个元满足方程x2=e(其中e是G的单位元),则G是交换群。2.()一个阶是13的群只有两个子群。3.()满足左、右消去律的有单位元的半群是群。4.()设G是群,H1是G的不变子群,H2是H1的不变子群,则H2是G的不变子群。5.()主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。6.()存在特征是2003的无零因子环。7.()在一个

15、环中,若左消去律成立,则消去律成立。8.()模21的剩余类环Z21是域。9.()整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。10.()除环只有零理想和单位理想。三、解答题(共30分)1.设H={(1),(123),(132)}是对称群S3的子群,写出H的所有左陪集和所有右陪集,问H是否是S3的不变子群?为什么?2.设G是一交换群,n是一正整数,H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。试问:H是否是G的子群?为什么?-20-3.在整数环Z中,求由2004,19生成的理想A=(2004,19)。四、证明题(共30分)1.设I1={4k

16、k∈Z

17、},I2={3k

18、k∈Z},试证明:(1)I1,I2都是整数环Z的理想。(2)I1∩I2=(12)是Z的一个主理想。2.设R、都是环,f是环R到的满同态映射,是的理想,试证明:A={a

19、a∈R且f(a)∈}是R的理想。3.证明,设S是环(R,+,·,0,1)的子环,N是R的理想,且S∩N={0},则剩余类环R/N有子环与S同构。-20-《近世代数》试卷3(时间120分钟)一、填空题(共20分)1.设G=(a)是6阶循环群,则G的子群有。2.设A、B是集合,

20、A

21、=

22、B

23、=3,则共可定义个从A到B的映射,其中有个单射,有个满射,有个双射

24、。3.在4次对称群S4中,(24)(231)=,(4321)-1=,(132)的阶为。4.整环Z中的单位有。5.环Z6的全部零因子是。6.设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=的在G中的

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