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时间：2018-09-14
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1、《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1.（）循环群的子群是循环子群。2.（）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。3.（）存在一个4阶的非交换群。4.（）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。5.（）无零因子环的特征不可能是2001。6.（）无零因子环的同态象无零因子。7.（）模97的剩余类环Z97是域。8.（）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。9.（）域是唯一分解整环。10.（）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分
2、，其余每空2分）1.设A、B是集合，
3、A
4、＝3，
5、B
6、＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。2.设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=的在G中的指数是。3.设G＝是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。4.在模12的剩余环R=｛[0],[1],……,[11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。5.环Z6的全部零因子是。6.整环Z[√-3]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3]中有两种本质不同的分解α＝=。得分评卷人复
7、查人三、解答题（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2.求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。-20-3.在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。2.设φ是环（R，+，·，0，1）到环（，+，·，0
8、/，1/）的同态满射。N=Kerφ={x
9、x∈R且φ（x）=0/},证明：φ是同构映射当且仅当N={0}。3.证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。-20-《近世代数》试卷2（时间120分钟）一、填空题（共20分）1.设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。2.设A、B是集合，
10、A
11、＝2，
12、B
13、＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。3.在模12的剩余环R=｛[0],[1],……,[11]｝中，［10］＋［5］＝，［10］·［5］＝，方程x2＝[1]的所有根为。4.在5次对称群S5中，（12）（14
14、5）＝，（4521）－1＝，（354）的阶为。5.整环Z中的单位有。6.在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝。二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1.（）若群G的每一个元满足方程x2=e(其中e是G的单位元)，则G是交换群。2.（）一个阶是13的群只有两个子群。3.（）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。4.（）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。5.（）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。6.（）存在特征是2003的无零因子环。7.（）在一个
15、环中，若左消去律成立，则消去律成立。8.（）模21的剩余类环Z21是域。9.（）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。10.（）除环只有零理想和单位理想。三、解答题（共30分）1.设H＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？2.设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。试问：H是否是G的子群？为什么？-20-3.在整数环Z中，求由2004，19生成的理想A=（2004，19）。四、证明题（共30分）1.设I1={4k
16、k∈Z
17、},I2={3k
18、k∈Z}，试证明：（1）I1,I2都是整数环Z的理想。（2）I1∩I2=(12)是Z的一个主理想。2.设R、都是环，f是环R到的满同态映射，是的理想，试证明：A＝｛a
19、a∈R且f（a）∈｝是R的理想。3.证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。-20-《近世代数》试卷3（时间120分钟）一、填空题（共20分）1.设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。2.设A、B是集合，
20、A
21、＝
22、B
23、＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射
24、。3.在4次对称群S4中，（24）（231）＝，（4321）－1＝，（132）的阶为。4.整环Z中的单位有。5.环Z6的全部零因子是。6.设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=的在G中的
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