浅谈初等数学与高等数学有关联系的几个问题

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1、浅谈初等数学与高等数学有关联系的几个问题　　1导数的应用　　导数是研究函数的工具，利用导数来研究函数的性质问题.可以比较容易地得到结果或找到解题的方向。　　导数的单调性　　定理设函数在上连续，在内可导　　如果在内，那么函数在上单调增加；　　如果在内，那么函数在上单调减少.　　例1-1确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.　　解法一：设是上的任意两个实数，且，则　　由得　　要使，则.　　于是.　　即时，是增函数；时，是减函数.　　解法二：　　令解得；因此，当时，是增函数.　　再令，解得，因此，当时，是减函数.　　经过对两种方法的对比，我发现大学数学解决此问题更方

2、便快捷.当我们再回来看一下高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一些弊端.　　1.利用导数可求出某些曲线的切线　　例1-2求椭圆上任意一点处的切线方程.　　解法一：设切线方程为　　将切线方程代入椭圆方程，令判别式，解得.　　所以切线方程，化简得.　　解法二：由，得.　　从而.　　所以.　　切线方程，化简得.　　通过解法一和解法二的对比，我发现某些曲线的切线用初等方法计算很麻烦，甚至求不出来，利用导数求曲线的切线既简捷又明了，可以达到事半功倍的效果.　　极限的应用　　学习极限是从一个“有限”到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极　　限问题是认识和解决问题的需

3、要.　　数列极限　　高中我们给出了数列极限的概念：　　如果当项数无限增大时，无穷数列联盟的项无限地趋近于某个常数，那么就说数列以为极限.或者说是数列的极限.　　数学分析里也给出了数列极限的概念：　　定义设为数列，为有限常数，若对总存在正整数，使得当时，有　　则称数列收敛于，是数列的极限.并记作，或.若数列没有极限，则称不收敛或称为发散数列.　　中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义来证明高中数列极限中所用的结论.　　例2-1证明　　在中学，我们直观地

4、知道，当时，这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的定义来证明这个结论的正确性.　　证明由有即　　对，则当时，有　　.　　即　　利用定义，同样可以证明在中学常用的数列极限的四则运算法则.　　例2-若数列与都收敛，则和数列也收敛，且　　.　　证明设与.根据数列极限的定义，即　　有　　有　　同时有　　与　　于是，有　　即　　在高中，我们就已经开始接触了数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维培养和备考能力提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的

5、是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也将越显灵活.　　函数极限　　与数列极限一样，中学同样给出了无限地趋于时的函数极限定义.即：　　如果函数无限趋于一个常数，就说当趋于时，函数的极限是，记作　　也可记作　　当时，　　也叫做函数在点处的极限.　　但中学课本给出的函数极限定义，只是一种定性的解释，并没有给出精确的量的刻画和描述.因此，我们只能根据定义，证明某一个常数是不是某一个函数的极限.　　当趋于时函数极限的精确定义：　　定义2.设函数在点的某一去心领域内有定义.如果存在常数，对于任意给定的

6、正数，总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式　　那么常数就叫做函数当时的极限，记作　　或.　　由于趋于时，有两个方向，大学数学还给出了单侧极限的定义，单侧极限是讨论函数在某一点事否连续的重要定理，这里不做过多的论述.　　当趋于时，函数极限精确定义：　　定义2.设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在着正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式　　那么常数就叫做函数的极限，记作　　或.　　函数极限所具有的性质与数列极限极为相似，与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论：运用这两个结论，可

7、以解决高中难以解答的问题.　　例2-求的值.　　解　　令当时，即　　故　　中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型，即但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则，其解答过程显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法.这使某些问题的解决更简便快捷.　　例2-求的值.　　我们先用中学的方法来求解：　　解=　　这是中学最基本的求解极限的方法.当所给函数是连续函数时，先将复杂的分式通过因式分解的方法，化为最简分式后.利用函数的连续性将数值代入得到答案