初等数学和高等数学的联系与矛盾

《初等数学和高等数学的联系与矛盾》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、初等数学和高等数学的联系与矛盾初等数学和高等数学的联系与矛盾　　1.引言　　数学专业的学生，特别是毕业后当老师的同学，一入学就发现他们面对的问题是，要学的知识好像同中学学过的一点联系也没有。由于缺乏指导，又很难明辨当前的中学教学内容和大学课程之间的联系。因此常会对大学所学课程有疑惑，甚至忽视。实际上，解决办法之一是通过掌握相当程度的高等数学知识，让初等数学与高等数学有机结合，居高临下，注重高等数学对初等数学的渗透，从较高层次去联系、指导和研究初等数学。　　我们所说的初等数学通常是指中学阶段所涉及的数学知识，

2、内容包含有代数，几何，解析几何，函数与数列等内容，处理一些有限量的直观的实际问题。高等数学是大学阶段所涉及的数学知识，内容有微积分，抽象代数，解析几何等内容，其特点是用极限的手段解决更切合实际的问题，是初等数学知识的补充与扩充。本论文研究的主要内容是初等数学与高等数学的联系和矛盾。　　2.初等数学与高等数学的矛盾和联系　　2.1初等数学与高等数学的矛盾　　2.1.1动与静的矛盾现象　　因初等数学是用较直观的方法处理问题，从而对事物的变化规律的揭示，往往停留于相对静止的状态下去分析解决问题，而高等数学却采用极

3、限的手段，对事物的变化规律通过对事物的动态描述而揭示，从而结果更精确。如对物理问题：已知非匀速连续运动的路径，求给定时刻的速度等。　　2.1.2曲与直的矛盾现象　　初等数学主要以研究直边图形为主，而对于不规则的曲边、曲面图形问题，就难以解决。但在高等数学中能用极限手段化曲为本文由论文联盟.L.cOm收集整理直，使问题初等化。如积分学中著名的求曲边梯形面积的问题，即已知y=f（x）>0，x∈［a，b］，计算由x=a，x=b，y=0，y=f（x）所围成的曲边梯形AbBa的面积。　　2.1.3有限

4、与无限的矛盾现象　　在初等数学中，由于只运用有限次代数运算，因此无法描述事物变化的无限过程。对于连续变量，初等数学只能把它作为一单位和静止的东西加以研究，无法把它看成某种连续运动所形成的结果。在高等数学中运用极限方法能把连续量看成是支点连续运动的结果，认为无穷多个无穷小量的和就是一个确定的量，通过极限的方法，有限与无限可以互相转化，从而实现有限与无限的最终统一。　　例：求无限和1+++++　　先求有限和S=1++++=2（1-），然后对n取极限就成无限和S=S=2.另外，一个确定的数或初等函数也可以表示成无

5、限和的形式，如：=+++，sinx=x-++（-1）+.　　2.1.4特殊与一般的矛盾现象　　从特殊至一般和从一般到特殊都是数学思考的重要方法，从初等数学到高等数学就是从特殊到一般的过渡。初等数学常有许多问题本身不能解决而需要借助高等数学解决，而高等数学是在初等数学基础上发展的，如在研究各种具有几个自由度的物理系统的运动时，为了描述这种系统的状态，需要引进一种量向量，而这种向量的研究与由两个，三个有序的实数确定的矢量有很多相似之处，若抽象地看，后者便是前者的特殊情况。　　向量应用于代数可以使问题化繁为简，化

6、难为易。　　2.1.5具体与抽象的矛盾　　初等数学与高等数学的概念都是抽象的，它们是现实的量的关系的反映，都是人们通过实践活动所获得的认识。一般来说，高等数学借以抽象的基础比初等数学更广，概括面更宽，抽象的结果更深刻。高等数学能够更加接近真实地反映实际事物的量的关系，得到更精确的结果，但高等数学在建立自己的抽象概念时又往往以初等数学概念作为具体，如线性空间这抽象的概念是集合的抽象，群、环等是实数集的抽象。　　2.2初等数学与高等数学的联系　　2.2.1高等数学与初等数学的联系之一是高等数学对初等数学理论上的

7、支持，即初等数学中一些无法阐释清楚的理论问题，必须利用高等数学的知识才能解决。　　2.2.2高等数学与初等数学的联系之二是高等数学也可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据。　　例如，数学证明的常用方法，数学归纳法，只讲怎样运用数学归纳法而避而不谈数学归纳法原理的证明，中学数学教材这样处理是考虑到中学生的知识水平、年龄特征和中学数学的教学目的。数学归纳法的合理性，是由自然数的归纳法公理或最小数原理所保证的，其应用的具体步骤，也就是由归纳公理所提供的，由该公理还可以演变出各种形式的归纳证明方法：第一数学归纳

8、法、第二数学归纳法、反向归纳法、无穷递降归纳法，用这些方法可以解决用其他数学方法难于处理的许多问题，具体实例在此从略。　　2.2.3高等数学与初等数学的联系之三是高等数学对初等数学的学习和教学具有指导性作用。　　例如：用初等数学的方法研究函数的增减性、凹凸性、求极值最值等种种特性有很大的局限性。而在高等数学中利用极限、导数、级数等知识，可用比较完备的方法研究函数的特性。　　2.2.4高等数学与初等数学的联系之四是