高三导数相关知识点经典复习答案

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1、导数的经典复习一、求切线、极值等问题：1．已知函数与函数．⑴若，的图象在点处有公共的切线，求实数的值；⑵设，求函数的极值．【解析】⑴因为，，所以点同时在函数，的图象上因为，，，，由已知，得，所以，即⑵因为（所以当时，因为，且所以对恒成立，所以在上单调递增，无极值当时，令，解得，（舍）所以当时，，的变化情况如下表：0+极小值所以当时，取得极小值，且．综上，当时，函数在上无极值；当时，函数在处取得极小值．二、求函数的单调性，最值问题2．已知函数，⑴若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；⑵求函数的单调区间和极值；⑶当，且时，证明：．【解析】⑴函数的定义域为，所以，又曲线

2、在点处的切线与直线平行，所以，即．⑵令得．9当变化时，，的变化情况如下表：+0极大值由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是所以在处取得极大值，．⑶当时，，由于，要证，只需证明，令，则，因为，所以，故在上单调递增，当，，即成立．故当时，有，即．3．已知函数，．⑴若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；⑵求函数的单调区间；⑶当，且时，证明：．【解析】⑴函数的定义域为，．又曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即．⑵由于．当时，对于，有在定义域上恒成立，即在上是增函数．9当时，由，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．⑶当时，，．令．．当时，，在单调递减．又，所以在恒为

3、负．所以当时，．即．故当，且时，成立．4．已知函数⑴若为的极值点，求的值；⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；⑶当时，若在区间上不单调，求的取值范围．【解析】⑴∵是的极值点，∴，即，解得或2．⑵∵在上．∴∵在上，∴又，∴∴，解得∴由可知和是的极值点．9∵∴在区间上的最大值为8．⑶因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点．而的两根为，，区间长为，∴在区间上不可能有2个零点．所以，即．∵，∴．又∵，∴．5．已知函数．⑴若，求曲线在点处的切线方程；⑵若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；【解析】⑴当时，函数，．，曲线在点处的切线的斜率为．从而曲

4、线在点处的切线方程为，即．⑵．令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是．6．已知函数，其中a为常数，且.（Ⅰ）若，求函数的极值点；（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.解法一：（Ⅰ）依题意得，所以，.………………………1分令，得9，.………………………2分，随x的变化情况入下表：x－0+0－极小值极大值………………………4分由上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点.………………………5分（Ⅱ）,.………………………6分由函数在区间上单调递减可知：

5、对任意恒成立，.………………………7分当时，，显然对任意恒成立；.…………………8分当时，等价于，因为，不等式等价于,.………………………9分令，则，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增，所以在上的最小值为，.………………………11分由于对任意恒成立等价于对任意恒成立，需且只需，即，解得，因为，所以9.综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为..………………………13分7．已知函数．(Ⅰ)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；(Ⅱ)设，，且，求证：．8．已知函数.（Ⅰ）当a=0时，求函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）若f(x

6、)在R上单调，求a的取值范围；（Ⅲ）当时，求函数f(x)的极小值。解:（Ⅰ）当a=0时，,………………2分,,∴函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0…………………………………………………………4分（Ⅱ）,考虑到恒成立且系数为正，∴f(x)在R上单调等价于恒成立.∴(a+2)2-4(a+2)£0,∴-2£a£2，即a的取值范围是[-2，2]，……………………8分（若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分）（Ⅲ）当时,,………………………………………………………………10分令，得，或x=1，9令，得，或

7、x>1，令，得.………………………………12分x,,f(x)的变化情况如下表X1)+0-0+f(x)极大值极小值所以，函数f(x)的极小值为f(1)=……………………………………14分9．已知函数，（为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数的递增区间；（Ⅱ）当时，过点作曲线的两条切线，设两切点为，，求证：．解：（Ⅰ）函数的定义域是．.当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得，或．所以当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，．…………8分（Ⅱ）因为，所以以为切点的切线的斜率为；以为切点的切线的斜率为．又因为切线过点，9所以；.解得，，.

8、则.由已知