数分选讲讲稿第12讲

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1、讲授内容备注第十二讲四、Cauchy中值定理1、推导中值公式Cauchy中值定理：若，在上连续，在内可导，．则，使得．适当选取函数，，就可以得到新的中值公式．例14设在内可微，，且，均存在（为有限数）．试证：，使得．证　令，，则在上连续，在内可导，而　　　　　　　　　　　令，，则，在上满足Cauchy中值定理的条件，所以．3学时10例15设函数在内二次可微．试证：，在之间，使得．(1)　　证只证明的情况（时类似可证，时显然）将(1)式改写．设，则，注意到两次应用Cauchy中值定理注意将Cauchy中值公式改写成则选取不同的函数，便可把

2、表示成不同的形式．若另取，．则有　　　　．　　一般来说，当采用个不同的函数（只要满足Cauchy中值定理的条件），便可得到含个中值的个等式．10例16设在上连续，在内可导，．证明：，使得　　　　　　　　．　　　　(1)证　以乘(1)式两端：　　　取，，在上分别应用Cauchy中值定理，　　　　　　　　　所以　　　　　　．例17设在上连续，在内可导．证明：在内存在，使得．证　以乘上式两端．取，，，则得　　　　　10　　　　　　　　　　上述三式左边相等，右边亦相等，结论成立．2、作为函数与导数的关系例18设在上连续可导，且．证明：．证　因为

3、在上连续，所以在上有界．只须证明在与上有界．以为例进行证明．（的情况类似）设为任意数，则，　　　　　　　　　　　(1)其中：取，，应用Cauchy中值定理　　　　　　　　　　　　　　　即有界，证有界10　　　　．　　　　　　(2)因为有界，综合(1)与(2)可知，亦有界．§3．3　Taylor公式本节主要讨论带Peano余项、Lagrange余项的Taylor公式在接替中的若干应用．Taylor公式的两种形式　若在上连续，在内存在．，在中间，使得下式成立　　　　　　　其中（Lagrange余项）若在点有阶导数，则在的邻域内Taylor公

4、式成立．其中　　　（Peano余项）　　在Taylor公式中，若把看成定点，看成动点，则Taylor公式通过定点处的函数值及导数值，，表达动点处的函数值．当问题涉及到二阶以上的导数时，通常可考虑用Taylor公式求解．其中关键在于选取函数、点、展开的阶次，以及余项的形式．点一般应选在有特点的地方．如，使某的地方等．　　一、证明中值公式例1设在上三次可导．试证：，使得的单调性10　　　(1)证　（待定常数法）设为使下式成立之实数(2)则问题归结为证明：，使得(3)令(4)则．满足Rolle定理的条件，使得．由(4)式得　　　　(5)这是关

5、于的方程．而在的Taylor公式　(6)其中．比较(5)、(6)可得．例2设在上有二阶导数．试证：，使得　(1)证I　对函数利用上例结果,或重复上例的证明过程即得．　　证II　将函数在点处按Taylor公式展开，记，则其中．10　　　　由导数的介值性　，使得．代入上式即得所证结论．　　二、证明不等式例3设在上二次可微，且．试证：，，，有证取将在处展开Taylor公式以乘此式两端，然后个不等式相加而得．例4　设有二阶导数，．试证：．证，由Taylor公式10两式相加，并除以，有　　　　　　　　　　　　　　令，得．三、导数的中值估计例5　设

6、二次可微，．．　　试证：．证　因为在上连续，所以必有最大值、最小值．又因为，，所以的最大值必在内部达到．，使得．即为极大值，由Fermat定理知．在处，将，按Taylor公式展开，，使得．所以，10所以．当时，　　时，　于是　　．类似可证：若在上有二阶导数，，，则，．例7若在上有二阶导数，且．试证：，使得．证I将分别在点展开Taylor公式，(1)同理可得(2)(2)－(1)得　　其中　　　．证II　若，问题得证．10设（类似可证），记．　若，则　　　所以　　　　　　　（必有）即．　若，则　　　所以　　　　　　（必有）即．10