2010-2011数学分析2期末考题及答案new

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1、A北京航空航天大学2010－2011学年第二学期期末《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩题号一二三四五六附加总分成绩阅卷人校对人2011年6月Page8of8A一.计算题（每小题6分，共60分）1、已知函数，求梯度及其梯度的散度2、设曲线的周长为，求3、设是由及围成的区域，计算4、设求5、设为椭球体计算6、计算积分其中是由围成的区域.7、计算其中为有向折线，这里依次是点8、计算其中为球面9、计算曲面积分其中是球面的上侧.10求向量场的旋度.Page8of8A所以原式=解：一、（本题满分10分）设在上具有连续的二阶偏导数，是椭圆的顺时针方

2、向，求的值.（利用公式）解：则由公式得,二、（本题满分10分）利用公式计算其中是曲面的外侧，是其外法线向量的方向余弦.解：对充分小的取（取内侧），使位于内的内区域中，记为与所围有界区域，则Page8of8A四、（本题满分10分）利用公式计算积分，其中为平面与三个坐标平面的交线，逆时针方向．解：且则或．五、（本题满分10分）设曲线积分与路径无关，其中具有连续导数，且Page8of8A计算的值.解：令则因为所以有解得，又由于知六、（附加题满分10分）设的方向为逆时针方向，证明：证明：令由围成的区域为由GREEN公式得又于是有从而所以Page8

3、of8A于是且故命题得证.解：---------------------------------------------------------3分--------------------3分解：解：因为无法用初等函数表示，所以积分时必须考虑次序，Page8of8A解：由积分中值定理，存在使得于是原式=解：作广义极坐标变换：则的Jacobi行列式为所以解：作柱面坐标变换则积分区域的表达式变为Page8of8A因此解：解：解：因为是关于Oyz平面对称的上半球面，所以上关于Oyz平面对称的元素在Oyz平面上的有向投影正好抵消，被积函数关于是偶

4、函数，故由定义可得，同理，Page8of8